[Cibertron]

Saludos amigos 

Tiempo ha que no me conecto, pero bueno, tarde o temprano las matemáticas nos asaltan en nuestra vida cotidiana no dejándonos otro remedio más que estudiarlas 

Así que..., aquí estoy, estudiando el ensayo del conocido Benoît Mandelbrot, "La Geometría Fractal de la Naturaleza" para tratar de comprender de una vez los secretos de las figuras fractales.

De momento no preguntaré nada difícil, sólo una cosa de índole técnica o teórica 

Bueno, supongo que a estas alturas todo el mundo sabe que la ecuación que dibuja los conjuntos de Mandelbrot (ver siguiente enlace) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg/800px-Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg

es:  \( Z_n+_1 = Z^2_n + C \)

O lo que es lo mismo, una ecuación recursiva en la que cada término se calcula en base a su anterior al cuadrado, más una constante C.

Mi pregunta es muy sencilla: ¿Cómo puede escribirse la expresión \( Z_n+_1 = Z^2_n + C \) como si fuese una función normal y corriente del tipo \( f(x) = 2^x - x^3 \) por ejemplo?

¿Cómo se expresan las funciones recursivas que dependen de su valor anterior para generar el siguiente? ¿Cómo sería? 

Bueno señores de momento sólo era eso, esque creo que es necesario transcribir la expresión compleja a una función en base a X para poder calcular límites, sumatorios y demás cosas.

En fin, gracias a todos por adelantado.

Saludos!!!!!!!! 

[Jabato]

Pues creo que tienes un error conceptual, la expresión:

\( Z_n+_1 = Z^2_n + C \)

define una sucesión que depende de cuales sean los valores de \( Z_0 \) y de \( C \), pero que yo sepa no define una función.

Puedes por ejemplo imponer la condición:

\( |Z_n(C)| = K \)    \( Z_0=0 \)

y entonces obtienes una curva para cada n dado. Si haces que \( K = 2 \), y n sea infinito obtienes el fractal de Mandelbrot, pero no entiendo a que función te refieres. Esa ecuación representa una familia de sucesiones, no una función.

Saludos, Jabato.

[Cibertron]

En primer lugar \( \infty \) gracias por contestar 

Y en segundo lugar, tal vez tenga un error conceptual, así que voy a tratar de aclararlo.

Veamos, la expresión de Mandelbrot \( Z_n_+_1 = Z^2_n + C \) es digamos una función discriminadora de los puntos del plano complejo, discriminación determinada por la condición, en este caso \( \left |{Z}\right |< 4 \) (establecido por el propio Mandelbrot).

Según Mandelbrot, el algoritmo consiste en iterar cada punto del plano complejo Infinitas veces y determinar su atractor, es decir, si la sucesión iterada tiende a infinito, a cero, o a un valor concreto.

No me pidáis que ponga la demostración porque sinceramente la desconozco, pero al parecer Mandelbrot concluyó que cuando el módulo de un complejo fuese menor que 4, su atractor era pues un número determinado.

Así que con esa condición se comprueban todos los puntos del plano complejo, pintando en negro los que tienen el CERO como atractor y en otro color (azul, por ejemplo) los que tienen el INFINITO como atractor.

En realidad, el conjunto de Mandelbrot, la figura, es la frontera que separa los puntos cuyos atractores ni son CERO ni INFINITO...

En este punto, tenemos una figura perfectamente correcta y como tal, surgen algunas preguntas:

¿Cuál es el área ENTERA mínima que será necesaria recortar para garantizar que toda la infinitud de desarrollo de Mandelbrot esté contenida?
¿Cómo establecer la longitud de su perímetro para un determinado número de iteraciones?
etc 

Son estas preguntas las que me llevan a pensar que tal y como calculamos áreas y límites en funciones reales diferenciables debe ser posible asimismo, calcular el área y los límites de una figura fractal como es la de mandelbrot, no?

Intuitivamente uno puede comenzar a iterar y darse cuenta de que en cada paso las nuevas figuritas que salen son más y más pequeñas y que por ello, su extensión debe tender a un límite. Es más, puede llegar a visualizerse iterando repetidamente pero este procedimiento, a mi parecer, no es exacto, no al menos como lo pueden ser los métodos numéricos para calcular el límite de series o sucesiones...

Es por ello que trato de buscar cómo escribir la expresión de Mandelbrot como una función a la que se le puedan aplicar mecanismos de cálculo de límites, etc...

No sé si me he explicado esta vez , con lo que sea, os agradezco vuestras respuestas.

Un saludo!!!!!!

[Jabato]

Bien, creo que la condición es \( |Z_n|<2 \) y no \( |Z_n|<4 \), y ahora considera el siguiente razonamiento:

\( Z_0=0 \)       \( |Z_n(C)|=2 \)

Para un determinado n esta ecuación representa el lugar geométrico de los puntos del plano complejo que después de resultar iterados n veces se transforman en un punto situado a distancia 2 del origen. Es una curva cerrada, perfectamente determinable. Al ir aumentando n la curva se va haciendo cada vez mas mas "rugosa" y a su vez esta contenida en el interior de la curva de orden n-1. En el límite dicha curva se correspondería con el fractal de Mandelbrot, por lo tanto al determinar el limite del área encerrada por cada una de las curvas obtendríamos el área que buscas,el problema es que manejar este tipo de curvas de forma algebraica es un problema demasiado complicado, es inviable.

Piensa que para:

n = 0 la curva sería \( |Z|=2 \) que es una circunferencia de radio 2 centrada en el origen

n = 1 la curva sería \( |Z^2 + Z|=2 \) que es una elipse (es fáci de demostrar)

n = 2 la curva sería \( |(Z^2 + Z)^2+Z|=2 \) es algo más compleja que una elipse

n = 3 la curva sería \( |((Z^2 + Z)^2+Z)^2+Z|=2 \) ¿y esta que curva es?

etc.

El límite para n infinito reproduciría el fractal de Mandelbrot, pero a ver de que forma podemos calcular el área encerrada por todas estas curvas, y su límite. El perímetro puede demostrase que es infinito pero su área no resulta tan sencilla de calcular.

Saludos, Jabato.

[Cyberian]

Hola, la última respuesta de Jabato está perfecta. Utilizando la versión 7.0.0 de mathematica, pueden visualizarse las iteraciones de una manera muy fácil:

RegionPlot[
 Abs[Nest[(#^2 + x + I y) &, x + I y, 15]] < 2, {x, -1.5,
  0.5}, {y, -1.1, 1.1}, Mesh -> All, PlotPoints -> 200]

Y como en mathematica se puede integrar sobre regiones, podemos ir estimando el área de este fractal de la siguiente manera:

AreaConv =
 Parallelize[
  Table[{n,
    NIntegrate[
      Boole[Abs[Nest[(#^2 + x + I y) &, x + I y, n]] < 2], {x, -1.5,
       0.5}, {y, -1.1, 1.1}] // Quiet}, {n, 2, 15}]]

Si no dispones de un computador multicore, puedes quitar la instrucción Parallelize, ya que esta hace que el proceso se distribuya a los 4 núcleos de cada una de las 6 PC que hay en la RED de la oficina, y así computar más rápido.
Después de unos pocos segundos, obtenemos la lista de pares iteración-área:

{{2, 3.58885}, {3, 3.08305}, {4, 2.70543}, {5, 2.46682}, {6,
  2.29295}, {7, 2.17252}, {8, 2.0763}, {9, 2.00276}, {10,
  1.94645}, {11, 1.89874}, {12, 1.8555}, {13, 1.82407}, {14,
  1.79876}, {15, 1.78004}}

Si queremos ver un gráfico de la convergencia:

ListPlot[AreaConv, AxesOrigin -> {0, 0}]


Para ver la forma rigurosa de obtener el área del fractal visiten:
http://mathworld.wolfram.com/MandelbrotSet.html