[Georg D. Hilbert]

En la wikipedia dice que i, es únicamente definida por la propiedad de que su cuadrado es -1, es decir, \( i^2=-1 \)
http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit#Definition
Un saludo.

[Carlos Ivorra]

En la wikipedia dice que i, es únicamente definida por la propiedad de que su cuadrado es -1, es decir, \( i^2=-1 \)
http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit#Definition
Un saludo.

Una costumbre saludable antes de fiarte de lo que dice la Wikipedia es probar a cambiar de idioma. Normalmente el inglés suele ser mucho más fiable que el español, pero esta vez los ingleses no han estado muy afortunados. Los franceses han hecho un trabajo mucho más serio:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9_imaginaire

Aunque, pensándolo mejor, la mejor página de la Wikipedia sobre la unidad imaginaria es la española, que no existe, de modo que quien quiere saber qué es \( i \) se ve obligado a hacer lo más razonable: entrar en la página en la que se definen los números complejos.

[argentinator]

En la wikipedia dice que i, es únicamente definida por la propiedad de que su cuadrado es -1, es decir, \( i^2=-1 \)
http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit#Definition
Un saludo.

Wikipedia es para salir de apuros, pero no para estudiar seriamente algo.

En castellano hay un librito básico para estudiar formalmente las propiedades de los números:

El Concepto de Número, monografía nro. 7 de la OEA, César Trejo.

Te recomiendo estudiar de libros de variable compleja como:

Variable compleja con aplicaciones, Wunsch, 1997.

Tiene varias "introducciones" que explican cómo surge el concepto de número complejo.
Hay versiones en castellano creo.

Aunque lo hace de modo algo sutil para quien recién se inicia,
todo lo que hace es por "definición".
Arranca diciendo que un número complejo es "algo" de la forma z = a + i b,
pero no dice qué diablos es esa "i".
Es algo formal, y sólo obedece a razones históricas.

En el fondo, lo que está haciendo ahí (en el capítulo 1 de Wunsch)
es tomar un par de números reales a, b, formarse algo con ellos, lo llama z,
y luego define operaciones sobre esos "objetos" z así escritos.

Es lo mismo que tomar todos los pares (a, b) de reales, formar un conjunto, y luego definir allí operaciones al capricho de uno mismo.

Esas definiciones son, digamos, definidas arbitrariamente en principio.
Y en realidad no tanto, pues se basan en las siguientes intenciones de fondo:

(*) Que el número \( 0 + i 1 \) (o sea, "i") sea la solución de la ecuación \( z^2 = -1 \).

(**) Que las leyes usuales de las operaciones aritméticas de la suma y el producto se sigan cumpliendo en el conjunto de todos esos pares.

Si bien históricamente los matemáticos creyeron "descubrir" los números complejos y sus propiedades, lo único que en realidad descubrieron son sus propios preconceptos de qué se supone que deben cumplir las operaciones de suma y de producto, y también descubrieron que si se lo proponían, podían inventarse un nuevo sistema de números en donde toda ecuación poliinómica tuviera solución.

En particular, que valgan (*) y (**).

Saludos.

[feriva]

En la wikipedia dice que i, es únicamente definida por la propiedad de que su cuadrado es -1, es decir, \( i^2=-1 \)
http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit#Definition
Un saludo.

 Si sobre la recta real tomas el punto 1 (en una dimensión de momento) y lo multiplicas por “-1” se transforma en el punto “-1”. El “1” y el “-1” son puntos simétricos respecto del punto cero, pero esta simetría se puede entender también como un giro de 180º que nos lleva de un punto al otro.

Del mismo modo, si multiplicas 2, por ejemplo, por “-1”, obtienes “-2” y tienes otra simetría que también se puede ver como un giro de los mismos grados, 180º; y así con cualquier número.

A partir de eso se le ocurrió a Argand (un matemático) que girando “media vez”, o sea, 90º, a partir del 1 de la recta real y siempre hacia la izquierda se podría representar el número “i” gráficamente.

  Si cada vez que se multiplica por “-1” esto representa un giro de 180º hacia la izquierda, análogamente, —pensó Argand— tiene sentido que multiplicar por “i” represente un giro de 90º hacia la izquierda. Y si multiplicamos desde “i” (que está fuera de la recta en un nuevo eje perpendicular que ha aparecido por arte de “i”) otra vez por “i” (lo que sería tener la multiplicación “i” por “i”, o sea “i” cuadrado) nos transformará el punto en “-1”.
 
 Esto lo tenía yo en un libro que he recordado ahora, y en Internet vienen páginas hablando de los diagramas de Argand; alguno contará la historia quizá, no sé, no me he parado a leer en detalle ninguna página, sólo he visto que existen.

 Saludos.

[Georg D. Hilbert]

Muchas gracias a los tres . Me voy a leer lo que me has dicho argentinator. Entonces según lo que he entendido los números complejos no se deducen de ningún lado, sino que se utilizan por conveniencia.

PD: Argentinator. ¿En los libro que me has dicho definen numero compleja de forma rigurosa? Sino, me podríais decir algún libro en el que lo hagan. Supongo que tengo los conocimientos suficientes para entenderlo, pero si no no me importa empezar desde cero. Un saludo.

[argentinator]

PD: Argentinator. ¿En los libro que me has dicho definen numero compleja de forma rigurosa?

Sí.