[viviana]

Hola, tengo dificultades en el siguiente ejercicio:

Mostrar que es una relación de orden:

\( A\leq B \Longleftrightarrow \overline{A}\cap B=\emptyset \)

¿Es \( A\cap \overline{B\cup C} \) el ínfimo de \( \{(A-B)\cup(B-C),\ A-C\} \)?

[pierrot]

Hola

viviana: Bienvenida al foro.

Es importante que leas las reglas y te comprometas a respetarlas. Para las fórmulas matemáticas es obligatorio el uso de \( \LaTeX \); se agradece que lo hayas intentado en tu primer mensaje, pero recuerda que para una correcta visualización debes encerrar el código entre los tags [tex] y [/tex].

Por ejemplo, para obtener:

\( A\leq B \Longleftrightarrow \overline{A}\cap B=\emptyset \)

debes de escribir:

[tex]A\leq B \Longleftrightarrow \overline{A}\cap B=\emptyset[/tex]

En este link tienes un tutorial de \( \LaTeX \) para aprender lo básico. Por esta vez, se te ha corregido el mensaje desde la administración.

También es conveniente que sepas que, antes de publicar, puedes hacer clic en el botón que dice "Previsualizar". De esa manera, puedes saber de antemano cómo se verá tu mensaje una vez publicado. De todas formas, en caso de que sea necesaria una corrección menor (con esto me refiero a errores de redacción, falta de algún acento, mejora estética de alguna fórmula, etc), puedes modificar el mensaje después de publicado. Por el contrario, si lo que quieres cambiar altera sustancialemente el significado de la letra de un ejercicio (por poner un ejemplo), es conveniente que hagas la modificación en rojo, o bien lo aclares explícitamente al final del mensaje.

En cuanto a tu problema, ¿qué has intentado? Tienes que demostrar las tres propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva. ¿En cuál tienes dificultad? Para lo segundo, ¿qué pensaste? Por otra parte, ¿no se especifica en qué conjunto está definido ese orden parcial?

Saludos

[viviana]

La relación es en el conjunto de partes \( P(X) \) con \( A \) y \( B \in P(X) \). Para ver que es reflexiva: \( A'\cap A=\emptyset \). No me doy cuenta de cómo demostrar las otras propiedades. Al igual que me pide ver si \( A\cap (B\cup{C})' \) es ínfimo del conjunto formado por la diferencia simétrica entre A y B, y A-C: \( \{(A-B)\cup (B-C),\ A-C\} \). Fui descomponiendo el conjunto quedando \( \{A\cap B',\ A\cap C'\} \). Ahora no me doy cuenta si cumple la condición de ser ínfimo \( A\cap (B\cup C)' \) con respecto al conjunto dado.

[pierrot]

He vuelto a editar tu mensaje. Por favor, ten en cuenta de aquí en más que el código \( \LaTeX \) debes encerrrarlo entre los tags [tex] y [/tex]. Se espera que lo hagas tú la próxima vez.

Sea \( X \) un conjunto arbitrario y quieres probar que \( (\mathcal{P}(X),\leq) \) es un conjunto parcialmente ordenado, donde la relación \( \leq \) está dada por:

\( A\leq B\Longleftrightarrow \overline{A}\cap B=\emptyset,\quad \forall A,B\in \mathcal{P}(X) \)

Propiedad reflexiva: \( A\leq A \). Es inmediato pues \( \overline{A}\cap A=\emptyset \).

Propiedad antisimétrica: \( A\leq B\wedge B\leq A\Rightarrow A=B \). Probemos las dos inclusiones:
1) \( A\subseteq B \). Sea \( a\in A \). Queremos probar que \( a\in B \). Por absurdo, supongamos que \( a\not\in B \) luego \( a\not\in B\wedge a\in A\Rightarrow a\in \overline{B}\cap A=\emptyset \), absurdo.
2) \( B\subseteq A \). Toma \( b\in B \) y prueba que \( b\in A \). Usa para ello que como \( A\leq B \) se tiene \( \overline{A}\cap B=\emptyset \).

Propiedad transitiva: \( A\leq B\wedge B\leq C\Rightarrow A\leq C \). Por absurdo, supongamos que \( \overline{A}\cap C\neq \emptyset \). Luego existe un elemento \( x\in \overline{A}\cap C \). Hay dos posibilidades:
1) Si \( x\in B \) entonces \( x\in \overline{A}\cap B=\emptyset \), absurdo. Esto es porque por hipótesis \( A\leq B \).
2) Si \( x\not\in B \) entonces \( x\in \overline{B}\cap C=\emptyset \), absurdo. Esto es porque por hipótesis \( B\leq C \).

Para lo último, observa que para ser ínfimo de ese conjunto primero que nada tiene que ser cota inferior. El problema es que, por ejemplo, no se cumple:

\( A\cap \overline{B\cup C}\leq A\setminus C \)

Observa que \( \overline{A\cap \overline{B\cup C}}=\overline{A\cap \left(\overline{B\cup C}\right)}=\overline{A}\cup \overline{\overline{B\cup C}}=\overline{A}\cup (B\cup C)=\overline{A}\cup B\cup C \). Entonces:

\( { \big(\overline{A\cap \overline{B\cup C}}\big)\cap (A\setminus C)=\big(\overline{A}\cup B\cup C)\cap (A\setminus C)=\big(\overline{A}\cup B\cup C)\cap (A\cap \overline{C})=B\cap (A\cap \overline{C})=B\cap A\cap \overline{C} } \)

Y ese conjunto no tiene porqué ser necesariamente vacío. Por ejemplo, considera \( X=\{1,2\} \); el conjunto de partes sería \( \mathcal{P}(X)=\big\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\big\} \). Toma \( A=B=\{1\} \) y \( C=\emptyset \).

Saludos

P.D.

Al igual que me pide ver si \( A\cap (B\cup{C})' \) es ínfimo del conjunto formado por la diferencia simétrica entre A y B, y A-C: \( \{(A-B)\cup (B-C),\ A-C\} \).

No sé si tuviste una errata al momento de copiar el ejercicio, pero la diferencia simétrica entre \( A \) y \( B \) es \( A\triangle B=(A-B)\cup (B-A)\neq (A-B)\cup (B-C) \).