[yotas]

Estructuras de Dedekind para demostrar la existencia del conjunto de los reales.

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Para comentarios de la traducción aquí: http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,53053.0.html

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Teorema 1.19

Teorema: Existe un cuerpo ordenado \( \mathbb{R} \) tal que todo \( S\subset{R} \) que esté acotado superiormente se cumple \( sup(S)\in{\mathbb{R}} \) y \( \mathbb{Q}\subset{\mathbb{R}} \).

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El Teorema 1.19 será probado en este apéndice por medio de la construcción de \( \mathbb{R} \) a partir de \( \mathbb{Q} \). Nosotros dividiremos la construcción en varios pasos.

Paso 1 Los miembros de \( \mathbb{R} \) serán ciertos subconjuntos de \( \mathbb{Q} \), que llamaremos cortes. Un corte será un subconjunto de \( \mathbb{Q} \) que cumpla las siguientes tres propiedades.

    (I) \( \alpha \) es no vacío y \( \alpha \) no es \( \mathbb{Q} \).
    (II) Si \( p\in{\alpha} \), \( q\in{\mathbb{Q}} \) y \( q<p \) entonces \( q\in{\alpha} \).
    (III) Si \( p\in{\alpha} \), entonces \( p<r \) para algún \( r\in{\alpha} \).

Las letras \( p,q,r,... \) representarán siempre números racionales, y \( \alpha, \beta, \gamma \) representan cortes.
Es de notar que (III) dice simplemente que \( \alpha \) no tiene un elemento mayor; (II) implica las dos siguientes afirmaciones, que se usarán con frecuencia:
   
    Si \( p\in{\alpha} \) y \( q\not\in{\alpha} \) entonces \( p<q \)
    Si \( r\not\in{\alpha} \) y \( r<s \) entonces \( s\not\in{\alpha} \)

Justificación 1

La primera afirmación es cierto puesto que si \( q<p \) por la condición (II) \( q\in{\alpha} \), contradicción.Y la segunda, si \( s\in{\alpha} \) por (II) \( r\in{\alpha} \), nuevamente, contradicción.

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Paso 2 Se define "\( \alpha<\beta \)" para significar que: \( \alpha\subset{\beta} \)
Verificaremos que cumplen las condiciones de la definición 1.5.

Definición 1.5

Sea S un conjunto. Un orden en S es una relación, denotada por <, con las siguientes dos propiedades:
(i)Si \( x\in{S} \) y \( y\in{S} \) entonces una y sólo una de las siguientes:

\( x<y,   x=y   , y<x \)

se cumple.
(ii)Si \( x,y,z\in{S} \) y \( x<y \) y \( y<z \) entonces \( x<z \)

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Si \( \alpha<\beta \) y \( \beta<\gamma \) es claro que \( \alpha<\gamma \). (Un subconjunto propio de un subconjunto propio es un conjunto propio del conjunto). También es claro que a lo sumo una de las siguientes tres relaciones

\( \alpha<\beta,   \alpha=\beta,  \beta<\alpha \)

puede darse. Para mostrar que al menos uno se cumple, asumamos que las dos primeras no se cumplen. Entonces \( \alpha \) no es un subconjunto de \( \beta \). Luego, exite un \( p\in{\alpha} \) tal que \( p\not\in{\beta} \). Si \( q\in{\beta} \), se sigue que \( q<p \) (ya que \( p\not\in{\beta} \)), así \( q\in{\alpha} \) por la condición (II). De donde \( \beta\subset{\alpha} \). Como \( \beta\neq{\alpha} \), concluimos: \( \beta<\alpha \).
     Así \( \mathbb{R} \) es un conjuntos ordenado.

Paso 3 El conjunto ordenado \( \mathbb{R} \) tiene la propiedad de que a cada conjunto \( A\subset{R} \) acotado se cumple \( sup(A)\in{\mathbb{R}} \).
    Para probar esto, sea \( A \) un conjunto no vacío acotado de \( \mathbb{R} \), y asumamos que \( \beta\in{\mathbb{R}} \) es una cota superior de \( A \). Definimos \( \gamma \) como la unión de todos los \( \alpha\in{A} \). En otras palabras, \( p\in{\gamma} \) si y sólo si \( p\in{\alpha} \) para algún \( \alpha\in{A} \). Probaremos que \( \gamma\in{R} \) y que \( \gamma=sup(A) \).
    Como \( A \) es no vacío, existe un \( \alpha_0\in{A} \). Donde \( \alpha_0 \) no vacío.  Como \( \alpha\subset{\gamma} \), \( \gamma \) es no vacío. Ahora, \( \gamma\subset{\beta} \) (por lo que \( \alpha\subset{\beta}  \) para todo \( \alpha\in{A} \)) de donde \( \gamma\neq{\mathbb{Q}} \). Así \( \gamma \) satisface (I). Para probar (II) y (III), escogemos \( p\in{\gamma} \). Tenemos \( p\in{\alpha_1} \) para algún \( \alpha_1\in{A} \). Si \( q<p \), entonces \( q\in{\alpha_1} \), concluyendo \( q\in{\gamma} \); esto prueba (II). Si \( r\in{\alpha_1} \) es escogido de tal modo que \( r>p \), evidentemente tenemos \( r\in{\gamma} \), lo que prueba que satisface (III).
    Todo esto prueba que \( \gamma \) es un corte.
    Es claro que \( \alpha\leq{\gamma} \) para todo \( \alpha\in{A} \).
    Supongamos que \( \delta<\gamma \). Entonces existe un \( s\in{\gamma} \) y que \( s\not\in{\delta} \). Como \( s\in{\gamma} \) existe \( s\in{\alpha} \) para algún \( \alpha\in{A} \). Por lo que \( \delta<\alpha \) y \( \beta \) no es una cota superior de \( A \).
    Lo que nos da el siguiente resultado: \( \gamma=sup(A) \).

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Paso 4 Si \( \alpha\in{\mathbb{R}} \) y \( \beta\in{\mathbb{R}} \) definimos \( \alpha+\beta \) como el conjunto de todas las sumas \( r+s \), donde \( r\in{\alpha} \) y \( s\in{\beta} \).
    Definimos como \( 0* \) al conjunto de todos lo números racionales negativos. Es claro que \( 0* \) es un corte. Verificaremos que los axiomas de la adición (ver definición 1.12) se cumplen en \( \mathbb{R} \), con \( 0* \) siendo \( 0 \).

definición 1.12

Un cuerpo es un conjunto \( F \) con dos operaciones, llamadas adición y multiplicación, las cuales satisfacen los siguientes axiomas:
Axiomas para la adición:
(A1) Si \( x\in{F} \) y \( y\in{f} \), entonces su suma \( x+y\in{F} \).
(A2) La adición es conmutativa \( x+y=y+x \) \( \forall{x\in{F}} \).
(A3) La adición es asociativa \( (x+y)+z=x+(y+z) \) \( \forall{x\in{F}} \).
(A4) \( F \) contiene un elemento \( 0 \) tal que \( 0+x=x \) \( \forall{x\in{F}} \).
(A5) \( \forall{x\in{F}} \) le corresponde un elemento \( \forall{-x\in{F}} \) tal que \( x+(-x)=0 \).
Axiomas para la multiplicación:
(M1) Si \( x\in{F} \) y \( y\in{F} \) entonces su producto \( xy\in{F} \).
(M2) La multiplicación es conmutativa: \( xy=yx \) \( \forall{x,y\in{F}} \).
(M3) La multiplicación es asociativa: \( (xy)z=x(yz) \) \( \forall{x,y,z\in{F}} \).
(M4) \( F \) contiene un elemento \( 1\neq{0} \) tal que \( 1x=x \) \( \forall{x\in{F}} \).
(M5) \( x\in{F}} \) y \( x\neq{0} \) entonces existe un elemento \( \displaystyle\frac{1}{x} \) tal que

\( x(\displaystyle\frac{1}{x})=1 \)

La ley distributiva:
\( x(y+z)=xy+xz \) \( \forall{x,y,z\in{F}} \).

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(A1) Mostraremos que \( \alpha+\beta \) es un corte. Es claro que \( \alpha+\beta \) es un conjunto no vacío de \( \mathbb{Q} \). Tomando \( r'\not\in{\beta} \), \( s'\not\in{\alpha} \). Tenemos \( r+s<r'+s' \) para todo par
\( r\in{\beta} \), \( s\in{\alpha} \). De donde \( r'+s'\not\in{\alpha+\beta} \). Por lo que cumple \( \alpha+\beta \) la propiedad \( (I) \).
   Escogiendo \( p\in{\alpha+\beta} \). Entonces \( p=r+s \) con \( r\in{\alpha} \) y \( s\in{\beta} \). Si \( q<p \), entonces \( q-s<r \) así \( q-s\in{\alpha} \), y \( q=(q-s)+s\in{\alpha+\beta} \). Por lo que se cumple (II).

(A2) Por la definición de \( \alpha+\beta \) se asegura que sea conmutativa puesto que \( r+s=s+r \) para todo \( r\in{\alpha} \) y \( s\in{\beta} \). Luego \( \alpha+\beta=\beta+\alpha \) \( \forall{\alpha, \beta\in{\mathbb{R}}} \).

(A3) Por la ley asociativa en \( \mathbb{Q} \) se tiene que \( (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) \) \( \forall{\alpha, \beta\in{\mathbb{R}}} \).
(A4) Si \( r\in{\alpha} \) y \( s\in{0*} \), entonces \( r+s\in{\alpha} \). Así \( \alpha+0*\subset{\alpha} \). Para obtener la inclusión opuesta, elijamos \( p\in{\alpha} \), y \( r\in{\alpha} \), \( r>p \). Entonces, \( p-r\in{0*} \), y \( p=r+(p-r)\in{\alpha} \). Así \( \alpha\subset{\alpha+0*} \). De donde \( \alpha+0*=\alpha \)

(A5) Sea \( \alpha\in{\mathbb{R}} \). Con \( \beta \) el conjunto de todos lo \( p \) con la siguiente propiedad:

Existe un \( r>0 \) tal que \( -p-r\not\in{\alpha} \).

    En otras palabras, algún racional más pequeño que \( -p \) no está en \( \alpha \).
    Nosotros mostraremos que \( \beta\in{\mathbb{R}} \) y que \( \alpha+\beta=0* \)
    Si \( s\not\in{\alpha} \) y \( p=-s-1 \), tenemos \( -p-1\not\in{\alpha} \), de esto \( p\in{\beta} \). Si \( q\in{\alpha} \) entonces \( -q\not\in{\alpha} \). Concluyendo \( \beta\neq{\mathbb{Q}} \). Se satisface (I).
    Sea \( p\in{\beta} \), y sea \( r>0 \), de modo que \( -p-r\not\in{\alpha} \). Si \( q<p \), entonces \( -q-r>-p-r \), así \( -q-r\not\in{\alpha} \). Así \( q\in{\beta} \), y se cumple (II). Colocando \( t=p+\displaystyle\frac{r}{2} \). Entonces \( t>p \), y \( -t-\displaystyle\frac{r}{2}=-p-r\not\in{\alpha} \), luego \( t\in{\beta} \). Satisface (III).
    Hemos probado que es un corte.
    Si \( r\in{\alpha} \) y \( s\in{\beta} \), entonces \( -s\not\in{\alpha} \), de donde \( r<-s \), \( r+s<0 \). Así \( \alpha+\beta\subset{0*} \) .
    Para probar la otra inclusión, elegimos \( v\in{0*} \), y pongamos \( w=-\displaystyle\frac{v}{2} \). Entonces \( w>0 \), y hay un entero \( n \) tal que \( nw\in{\alpha} \) pero \( (n+1)w\not\in{\alpha} \). (¡Notar que esto depende de que \( \mathbb{Q} \) tenga la propiedad arquimediana!). Pongamos \( p=-(n+2)w \). Entonces \( p\in{\beta} \), ya que \( -p-w\not\in{\alpha} \), y

\( v=nw+p\in{\alpha+\beta} \)

Así \( 0*\subset{\alpha+\beta} \).
    Concluimos entonces que \( \alpha+\beta=0* \).
    Denotamos a \( \beta \) por \( -\alpha \).