[DiscipulusEuclidis]

Sobre la misma base AB y a lados opuestos de ella se describen un triángulo rectángulo AQB, siendo Q el ángulo recto, y un triángulo equilátero APB. Demuéstrese que el cuadrado sobre PQ excede al cuadrado sobre AB en el doble del rectángulo comprendido por las perpendiculares trazadas desde P y Q sobre AB.

[Pie]

Sobre la misma base AB y a lados opuestos de ella se describen un triángulo rectángulo AQB, siendo Q el ángulo recto, y un triángulo equilátero APB. Demuéstrese que el cuadrado sobre PQ excede al cuadrado sobre AB en el doble del rectángulo comprendido por las perpendiculares trazadas desde P y Q sobre AB.

Supongo que es esto:



Hay que demostrar que:

\( QP^2 = AB^2 + 2QE\cdot DP \)

Spoiler

\[ QP^2 = ED^2 + (QE + DP)^2 = ED^2 + QE^2 + DP^2 + 2QE \cdot DP =  \]

\[ \left(\frac{1}{2} AB- AE\right)^2 + QE^2 +\frac{3}{4}AB^2 + 2QE\cdot DP =  \]

\[ \frac{1}{4} AB^2- AB\cdot AE + AE^2 + QE^2 +\frac{3}{4} AB^2 + 2QE\cdot DP =  \]

\( AB^2 - AB \cdot AE + AQ^2 + 2QE\cdot DP \)

Pero por el teorema del cateto:

\( AQ^2 = AB \cdot AE \)

Luego:

\( QP^2 = AB^2 + 2QE\cdot DP \)

[cerrar]

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Sobre la misma base AB y a lados opuestos de ella se describen un triángulo rectángulo AQB, siendo Q el ángulo recto, y un triángulo equilátero APB. Demuéstrese que el cuadrado sobre PQ excede al cuadrado sobre AB en el doble del rectángulo comprendido por las perpendiculares trazadas desde P y Q sobre AB.

Otra forma...

Spoiler

Llamando \( \alpha=\angle{ADQ} \) y \( L=AB \) por el teorema del coseno es
\( PQ^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}L}{2}\right)^2+\left(\dfrac{L}{2}\right)^2+2\cdot
\dfrac{\sqrt{3}L}{2}\cdot \dfrac{L\sin\alpha}{2}=\\L^2+2\cdot\dfrac{\sqrt{3}L}{2}\cdot \dfrac{L\sin\alpha}{2}=AB^2+2DP\cdot QE \)

[cerrar]

Saludos