[petras]

En un triángulo rectángulo \( ABC \), recto en \( B \), la \( m\angle BCA =\frac{53}{2}^º \); exteriormente a dicho triángulo se traza los cuadrados\(  ABMN \) y \( BCEF \), luego se traza \( EH \) perpendicular a \( AC \) (\( H \in AC \)).
Calcule la medida dei ángulo formado por \( HB \) y \( GA \) , siendo \( G \) la intersección de \( NM \) y \( EF \) .

Spoiler

S:\( \frac{159]{2}ô \)

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[Pie]

En un triángulo rectángulo \( ABC \), recto en \( B \), la \( m\angle BCA =\frac{53}{2}^º \); exteriormente a dicho triángulo se traza los cuadrados\(  ABMN \) y \( BCEF \), luego se traza \( EH \) perpendicular a \( AC \) (\( H \in AC \)).
Calcule la medida dei ángulo formado por \( HB \) y \( GA \) , siendo \( G \) la intersección de \( NM \) y \( EF \) .

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S:\( \frac{159]{2}ô \)

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Esto es lo que me sale..

Spoiler

Supongo que hay que usar la aproximación \(  \displaystyle \frac{53}{2}^o =\arctan(1/2) \), entonces se tiene que \( BC =2BA=2l \) y \( AF =3l \).

El triángulo \( \triangle{CHE} \) es semejante a \( \triangle{ABC} \), de donde:

\[ EH =2CH \Longrightarrow{} CE^2 = CH^2 + (2CH)^2 = 5CH^2 \Longrightarrow{}
 \]

\[ CH = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5} CE =  \displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5} l \]

Llamando \( P = CE \cap BH \), se tiene la semejanza \( \triangle{CHP} \sim \triangle{AHB} \), de donde:

\[ \displaystyle\frac{CP}{CH} = \displaystyle\frac{AB}{AH}\Longrightarrow{} \]

\[ \displaystyle\frac{5 CP}{2\sqrt{5} l}= \displaystyle\frac{l}{\sqrt{5}l+\frac{2\sqrt{5}}{5}l}\Longrightarrow{} CP = \displaystyle\frac{2}{7} l \]

Asi \( \angle PBC = \arctan(1/7)
 \)

Finalmente, llamando \( K = AG \cap MB \) tenemos que:

\[ \angle BDA = \angle DBK + \angle BKA = \arctan(1/7) + \arctan(3) = \arctan(11/2) \]

[cerrar]

Saludos.

[petras]

En un triángulo rectángulo \( ABC \), recto en \( B \), la \( m\angle BCA =\frac{53}{2}^º \); exteriormente a dicho triángulo se traza los cuadrados\(  ABMN \) y \( BCEF \), luego se traza \( EH \) perpendicular a \( AC \) (\( H \in AC \)).
Calcule la medida dei ángulo formado por \( HB \) y \( GA \) , siendo \( G \) la intersección de \( NM \) y \( EF \) .

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S:\( \frac{159]{2}ô \)

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Esto es lo que me sale..

Spoiler

Supongo que hay que usar la aproximación \(  \displaystyle \frac{53}{2}^o =\arctan(1/2) \), entonces se tiene que \( BC =2BA=2l \) y \( AF =3l \).

El triángulo \( \triangle{CHE} \) es semejante a \( \triangle{ABC} \), de donde:

\[ EH =2CH \Longrightarrow{} CE^2 = CH^2 + (2CH)^2 = 5CH^2 \Longrightarrow{}
 \]

\[ CH = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5} CE =  \displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5} l \]

Llamando \( P = CE \cap BH \), se tiene la semejanza \( \triangle{CHP} \sim \triangle{AHB} \), de donde:

\[ \displaystyle\frac{CP}{CH} = \displaystyle\frac{AB}{AH}\Longrightarrow{} \]

\[ \displaystyle\frac{5 CP}{2\sqrt{5} l}= \displaystyle\frac{l}{\sqrt{5}l+\frac{2\sqrt{5}}{5}l}\Longrightarrow{} CP = \displaystyle\frac{2}{7} l \]

Asi \( \angle PBC = \arctan(1/7)
 \)

Finalmente, llamando \( K = AG \cap MB \) tenemos que:

\[ \angle BDA = \angle DBK + \angle BKA = \arctan(1/7) + \arctan(3) = \arctan(11/2) \]

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Saludos.

Está perfecto... ahora solo basta usar los triángulos notables peruanos para llegar a la respuesta.

\( \angle BDA = \arctan(1/7) + \arctan(3) = \frac{143}{2} + 8 = \boxed{\frac{159}{2}^o } \)


Agradecido
Saludos