[DiscipulusEuclidis]

ABCD es un cuadrilátero y E, F son los puntos medios de AC, BD, respectivamente. Demuéstrese que si las diagonales se intersecan en el punto O, la suma de las áreas de los triángulos AOB, COD menos la suma de las áreas de los triángulos AOD, BOC es igual a cuatro veces el área del triángulo EOF.

[Pie]

ABCD es un cuadrilátero y E, F son los puntos medios de AC, BD, respectivamente. Demuéstrese que si las diagonales se intersecan en el punto O, la suma de las áreas de los triángulos AOB, COD menos la suma de las áreas de los triángulos AOD, BOC es igual a cuatro veces el área del triángulo EOF.

Por ser \( E \) y \( F \) puntos medios se tiene que:

\( Area(ABE) =Area(CBE) = S \)

\( Area(ADE) = Area(CDE) = R \)

\( Area(BEF) = Area(DEF) = T \)

Por tanto:

\( Area(AOB) + Area(COD) - Area(AOD) - Area(BOC) =  \)

\(  S - Area(OBE) + R +Area(OED) - R+Area(OED) - S - Area(OBE) =  \)

\(  2[Area(OED)-Area(OBE)] = 2[T+Area(EOF) - T + Area(EOF)] =  \)

\(  2[2Area(EOF)] = 4Area(EOF) \)

Saludos.