[anartesi]

Hola, buenas tardes. El ejercicio es este:

Demuestre que la curvatura k se relaciona con la tangente y los vectores normales, mediante la ecuación:

$$\displaystyle\frac{dT}{ds} = $$ k .N

Entiendo lo que dice, pero no se me ocurre como probar eso. Gracias!

[ani_pascual]

Hola:

...
Demuestre que la curvatura k se relaciona con la tangente y los vectores normales, mediante la ecuación:

$$\displaystyle\frac{dT}{ds} = $$ k .N

Entiendo lo que dice, pero no se me ocurre como probar eso. Gracias!

Si \( \alpha=\alpha(s) \) es una curva diferenciable regular parametrizada proporcionalmente al arco, por definición, el vector tangente, unitario, en el punto \( \alpha(s) \) es \( T=\dfrac{d\alpha(s)}{ds} \), el vector normal, unitario, es \( N=\dfrac{\dfrac{d^2\alpha(s)}{ds^2}}{\left|\dfrac{d^2\alpha(s)}{ds^2}\right|}=\dfrac{\dfrac{d^2\alpha(s)}{ds^2}}{\kappa(s)} \) ya que la curvatura es, por definición, \( \kappa(s)=\left|\dfrac{d^2\alpha(s)}{ds^2}\right|  \) luego es claro que \( \dfrac{dT}{ds}=\dfrac{d^2\alpha(s)}{ds^2}=\kappa N \)
Editado, para que no haya confusión    
Saludos

[anartesi]

Hola, eso ... \( \displaystyle\frac{d^2\alpha(s)}{ds^2} \), serìa T (derivada))?

Se me desconfigurò el teclado ...gracias

[ani_pascual]

Hola:

Hola, eso ... \( \displaystyle\frac{d^2\alpha(s)}{ds^2} \), serìa T (derivada))?
...

Sí, así es. Hay otras notaciones más breves... 
\( T=\dot{\alpha}(s)\Longrightarrow \dot{T}=\ddot{\alpha}(s)=\kappa N \)
Saludos