Hola:
Por si hay alguien con interés en este tipo de ejercicios...
Lo he encontrado en un libro de problemas de topología general y la prueba que propone me ha encantado por su brevedad...
Sea \( (X,\tau) \) un espacio topológico y sean \( A,B \) dos subconjuntos de \( X \) conexos tales que \( \overline{A}\cap B\neq \emptyset \). Pruébese que \( A\cup B \) es conexo.PD: Una solución Spoiler
Sea \( x\in \overline{A}\cap B \), entonces \( A\subseteq A\cup \{x\}\subseteq \overline{A}\Longrightarrow A\cup \{x\} \) es conexo.
Ahora, como \( (A\cup\{x\})\cap B\neq\emptyset \), pues al menos \( x\in (A\cup\{x\})\cap B \), se deduce que \( A\cup B=A\cup\{x\}\cup B \) es conexo. \( \blacksquare \)
Saludos
