No estaría entendiendo como aplica la Propiedad IV para deducir que todo divisor de \( a \) y de \( b \) lo será de \( bq \) (Aquí entiendo que aplica la propiedad I) y por lo tanto también del resto \( r \).
¿Alguien me podría explicar por favor?
Es bastante obvia esa propiedad, y también lo es analizar lo que conlleva, si te pones algún ejemplo con números dando valores arbitrarios a las letras.
Por ejemplo, considera la suma, $$14+b=35$$; tenemos que 7 divide a 35 (la suma) y divide a 14 (uno de los sumandos); ¿sería posible que 7 no dividiera b? Para demostrar que no, despejamos y sacamos factor común 7, pues vemos que 7 divide a 14 y 35:
$$b=35-14$$
$$b=7(5-2)$$
y dividiendo a ambos lados
$$\dfrac{b}{7}=(5-2)$$
La diferencia entre dos enteros siempre es un entero, en este caso $$5-2$$, por tanto, ocurrirá que $$\dfrac{b}{7}\in\mathbb{Z} $$, lo que es exactamente lo mismo que decir que $$7|b$$, (7 divide a b).
Luego si tenemos que en la igualdad $$a+b=c$$, $$d$$ divide a la suma $$c$$ y divide a un sumando (el que sea) siempre podremos despejar y sacar factor común, lo que obliga a que “d” divida también al otro sumando”. Y con a-b=c es análogo.
¿Es “d”, necesariamente, el MCD? No, necesariamente es CD (divisor común de a,b,c) pero no tiene por qué ser el mayor; ejemplo:
$$16+24=40$$
Claramente, 2 divide a los tres, pero 4 también divide a los tres; 2 no es el máximo.
Qué otra situación puede darse en “a+b=c”, que no exista ningún factor de c (salvo 1) que divida a ninguno de los dos sumandos pero sí divida a la suma a+b; en ese caso el único divisor común para $$a,b,c$$ será 1 y no hay otro divisor común, ni mayor ni menor; luego en ese caso el MCD es siempre 1.
El que un factor “d” de “a” y de “b” divida a “ab” es aún más obvio, puesto que, sin perder generalidad, $$\dfrac{letra\:a\:\acute{o}{\textstyle b}}{d} $$ será un entero en todo caso, y al multiplicarlo por cualquier otro entero, será entero por la propiedad de cerradura algebraica, pertenecerá también a los enteros.
Saludos.
