[Ramoncalvoloco]

La verdad es mi primera vez usando rincón matemático, entonces no estoy seguro de donde publicar esto y ya cometí un error al intentar subirlo en otro lugar equivocado.

Hace unos días se me ocurrió una conjetura, que además descubrí que solo la redescubrí :'( , que excedía mis capacidades.
Voy a pasar con la proposición directamente:

\( \varpi(6) = 23 \) porque la factorización prima ordenada de menor a mayor, cuando se une, forma \( 23 \) ( \( \{2;3\} \) )

Otro ejemplo: \( \varpi(3337) = 4771 \) porque la FPO de menor a mayor, cuando se une, forma \( 4771 \) ( \( \{47; 71\} \) )

Conjetura: \( \forall{r_0>1}, \varpi(r_n) = r_{n+1}, \exists{k} |  r_k\in{Primos} \)

Es decir, cae en un bucle primo, porque \( \varpi \)(p) = p

Tengo que hacer una aclaración para quienes la tengan la duda puedan resolverla fácilmente: Las potencias primas se tratan como repeticiones, es decir  \( \varpi \)(4)=22.

Gracias, querido moderador, por mostrarme el tutorial de LaTex.

Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[Luis Fuentes]

Hola

La verdad es mi primera vez usando rincón matemático, entonces no estoy seguro de donde publicar esto y ya cometí un error al intentar subirlo en otro lugar equivocado.

Hace unos días se me ocurrió una conjetura que excedía mis capacidades.
Voy a pasar con la proposición directamente:

\( \varpi(6) = 23 \) porque la factorización prima ordenada de menor a mayor, cuando se une, forma \( 23 \) ( \( \{2;3\} \) )

Otro ejemplo: \( \varpi(3337) = 4771 \) porque la FPO de menor a mayor, cuando se une, forma \( 4771 \) ( \( \{47; 71\} \) )

Conjetura: \( \forall{r_0>1}, \varpi(r_n) = r_{n+1}, \exists{k} |  r_k\in{Primos} \)

Es decir, cae en un bucle primo, porque \( \varpi(p) = p \)

Además, necesito un poco de ayuda para generar bien los símbolos. Pueden llegar a estar mal.

Me queda la duda de como defines \( \varpi(n) \) cuando aparecen potencias de primos. Por ejemplo:

¿\( \varpi(2^3\cdot 3)=23 \)?

Si es así he hecho un programilla para hacer pruebas y para \( n=91 \). Los primeros \( 63 \) iterantes que ha podido calcular (cada vez va más lento) me salen estos y todavía no se llega a un primo.

91
713
2331
3737
37101
383149
1329473
10912197
328312853
1129846623
3735159117
31245053039
173977184859
3293176308321
319269241788861
371325123869195203
1278647733810375857
1665622037676698019
31742715741254857303
56627509560552923867
7231669691730466844339
29292141725615916779419
137674933167902648743559
431251319245481559237309
31343374626164921848938423
3134421181786082892053206717
75715199153821333128024674941
115709686789654354888125228569
315031478278370974184371572211
19797186041838357425713338412621
798313833059832182629523071925391
323193203355131932947895730581350411
3633475251422759511700635779268162487
715732072579170750776179761251940616069
111133113040452527750536089487371671618301
337044371013484175916845363162457223872767
600786265746023650415772039896672001633247
41592968331707725172597443263882901217173677
37191543181248296727205656141600686246555808649
43007178647754125939534437445118137650230472397
2491713849533097124626405237012902075659352963953
17146571402913711595566259131588994239744667821409
281653591426551445905817471029347687259810673861199
111583361128722527664332839332434732716054373409182193
326326970219924295819711668883248316143264088262156762437
313592753296148777187482909242015610908714650422309632509153
334843639255127641909720323249112845656523850046923292501017
3744960165369196327618800125004044947843401652559423281056659
37424323854616923066904011177711620437126636835243119410815149
1354716717331481625468949720904189523789975908712150630248539183
472563491898983404297031647057173889177985724431406826891477659793
72913926996403386512461844857066099690288952062407859370823822027419
8931259261036397110040245575465705269315718052691125142746353346599139
113733272631579293879541804732934441371441172683358801814591719197237923
191667266473438111387930953386610476446950525467033462280948783625515888691
11421435287764386723701828136680564508165843340115745158539472555058285496351
711493171837827976109043061216566468586779024171586416376904188147366561736593
2924534247304752688831346312455743671330578587040399531599203592694736777990917
74040669103396394695487755292549904570461110394292861158825769113240674915633199
731443110029422801618022275388725938785770860984505361423267890134695829115143347
23777007831686902876993931823615494772755308246775070138782296344509264076357638013
37111377602843386191072352407404414920025473171505351939469845613713816728722245169549
374710300709267582737517954083085376338949988365486025095896304034769627343880305594947

Esto ni confirma ni desmiente la conjetura; pero no es tan evidente.

Saludos.

[Ramoncalvoloco]

Hola Luis, gracias por comunicarte. En el foro de r/matematicas hay una fórmula derivada para representar a varpi si te interesa. Estaría redacto diferente y con un título y narrativa hechos para atraer más personas.
Los casos en donde la factorización prima tiene exponentes, tenemos que tratarlos como repeticiones, ejemplo, \( varpi \)(16) =2222.
Segundo, excelentes habilidades de programador.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis, gracias por comunicarte. En el foro de r/matematicas hay una fórmula derivada para representar a varpi si te interesa. Estaría redacto diferente y con un título y narrativa hechos para atraer más personas.
Los casos en donde la factorización prima tiene exponentes, tenemos que tratarlos como repeticiones, ejemplo, \textrm{\varpi}(16) =2222.
Segundo, excelentes habilidades de programador.

Con esa definición, si se empieza en \( 49 \) obtengo esta cadena de iterantes, que lleva \( 55 \) (cada vez va más lento porque hay que factorizar números muy grandes) y por ahora no parece llegar a un primo, pero claro... quien sabe...

49
1 - 77
2 - 711
3 - 3379
4 - 31109
5 - 132393
6 - 344131
7 - 1731653
8 - 71143523
9 - 11115771019
10 - 31135742029
11 - 717261644891
12 - 11193431873899
13 - 116134799345907
14 - 3204751189066719
15 - 31068250396355573
16 - 62161149980213343
17 - 336906794442245927
18 - 734615161567701999
19 - 31318836286194043641
20 - 333431436916146111627309
21 - 33205716184556772142207827
22 - 31367222155734752971376323127
23 - 733915126325777821480557336017
24 - 476734743112036198712947236602187
25 - 377171280957470909577133234490256751
26 - 3096049809383121823389214993262890297
27 - 73796236325118712936424989555929478399
28 - 13118114526141133089538087518197265265053
29 - 319521441731977174163487542111577539726749
30 - 595415617656474189392601483764603009147911
31 - 13842314669573706744784027901056001426046777
32 - 3129192501509379967095393172011476342474406759
33 - 3203927133121399320591151296378525102203388346189
34 - 133119651853912195249113288820301002347322382772769
35 - 11103725795898241052711667094407302642807490159301277
36 - 1152194718705941109372661574127837007959097317735411121
37 - 6318653972357749718234812726673333988788742328093848793
38 - 711111311391974493533533521186754240313734089696843349346661
39 - 3771113711016948131790459407678947892694155341923379077407684653
40 - 7310113562312583178332057129971031882457634609852680847686251943317
41 - 3111197172271564982895268105721087453190074064393495190773755017652247
42 - 373111539295698434141591345095168649790005875768086611455076505611166279
43 - 33333711151101316117103176926136887884135060403955118931001222053567659972075047
44 - 37987951744462008749649348751784002342702203325604103216176784227054268232116293
45 - 711131272236782094454737267090807771975783627239622801952043181949336676523721088629
46 - 11875268711137089799261311878547509623397801472835395151221348397140205614034351359377
47 - 727431892383195200824551792309011586997602061240784213075478539371666587718903373678159
48 - 717133578549596081307550033105521651212411487965543982552577200370139716504126134573487841
49 - 1013140899118131107973159425637372267366503456262916700717404858255585899140058606434748914537
50 - 72234097425722814870501750027158400247194032517114645379347463054616952506288341051992127524371
51 - 13194364771297636926449071474339241979213097094329426579438949847711959739988164520170173919543019
52 - 7313477112327919644117373641599001219748294379551351547309579716601707756498905354854859516129556133
53 - 7711631753166696505943917711251563303775439749470615275651919009839779126156077932235038449963463079517
54 - 3337167244325056337062272469154317119778326007522724375712551901020784140917502333620946432057740074247159
55 - 95261436871495662012485084755467231617796842248675690632434479247655080197916188170687651874396287605885943

Saludos.

[Ramoncalvoloco]

Excelente trabajo, simplemente es muy loco

[Richard R Richard]

Como ya alguien se puso a programar,  esta vuelta es a mí el que me toca decir que esta conjetura es fácil de hacerse la idea que es cierta, que toda cadena terminará en un primo, pero lo difícil es demostrarlo  .
Como a cada paso se crea un número cuya probabilidad de ser primo no es nula, y la cantidad de iteraciones puede ser tan alta como se quiera , la probabilidad de que al menos una de esas iteraciones resulte en un primo es cada vez mas alta. Es una conjetura  que no tiene posibilidades de ser falsa, pues el número de iteraciones es ilimitado , solo hace falta un primo en la secuencia , para que el número inicial verifique. Para que no cumpla un número tiene que haber una relación proporcional entre los factores y el número concatenado, la cual no existe.

El ejemplo mas sencillo de concatenación $$b\cdot10^{cifras \ de \ a}+a=a\cdot b$$ eso implica que $$a$$ tiene que ser  mayor a 10 elevado al número de sus cifras lo cual es imposible para todo número natural.
Esto es extensible a todo número de cifras y a toda cantidad de factores.

Si llamas $$p_{P(n_i)}$$ a la probabilidad de que un numero sea primo dada la densidad de primos hasta ese numero la probabilidad de obtener un primo es

$$p_{P(n+1)}=1- \left[ \prod\limits_{i=1}^n(1-p_{P(n)})\right] $$

Y  aunque esto es una mera ilusión ya que un número es primo o no lo es, y  asociar una probabilidad al hecho de que sea primo no clarifica nada , lo que si aporta es la probabilidad de que una operación de concatenación de números crea una sucesión de cifras , que tomada como número este sea o no un números primo.

El segundo término de esa ecuación llevado al límite tiende a cero cuando la cantidad de iteraciones $$n$$  va hacia infinito, luego la probabilidad de hallar un primo tiende a 1,  aunque esto ya sabemos que no es una demostración, hay un factor facilitante, que la construcción del siguiente número de la iteración tiene por último factor a un número primo, por lo tanto termina en 1,3,7,o 9 y la concatenación  no aporta complejidad al problema, la dificultad radica en que obtener los factores de números muchas cifras se vuelve lenta, y aunque lento no es sinónimo de imposible, si el dominio de la conjetura es todos los naturales, es obvio que no vamos a poder probarlos todos. Luego la demostración general para todo natural  no  es tarea fácil.

Pd Cuando tarda una fracción de segundo calcular  los naturales hasta el 48, el 49  se resiste va varios minutos ,  a la hora de postear  antes de irme a dormir llegué la misma iteración que Luis para el 49 , la dejo  para ver si halla el número primo final de la secuencia.

[Luis Fuentes]

Hola

la dificultad radica en que obtener los factores de números muchas cifras se vuelve lenta, y aunque lento no es sinónimo de imposible, si el dominio de la conjetura es todos los naturales, es obvio que no vamos a poder probarlos todos. Luego la demostración general para todo natural  no  es tarea fácil.

Si. En este caso no es fácil ni demostrarla ni falsarla, en el siguiente sentido.

- Demostrarla supondría probar que empezando en cualquier número se termina por llegar a un primo. Obviamente como hay infinitos números no puede hacerse empíricamente; habría que encontrar argumentos generales que lo justificasen.

- Pero incluso si es falsa también es difícil de justificar, aún teniendo un candidato a ejemplo que la tirase abajo (pongamos el [tex]49[7tex]). Porque empíricamente tampoco se puede probar que el ejemplo es bueno, porque si nunca llega a un primo habría que iterar infinitas veces. Luego también habría que encontrar algún argumento general que lo justificase. Esto lo diferencia de otro tipo de conjeturas como la de Goldbach, donde si hay un candidato a contraejemplo, un número par concreto que no se pueda expresar como suma de primos, si se podría comprobar empíricamente porque sólo hay una forma finita de maneras de expresarlo como suma de dos.

 Por lo demás como bien dices, los criterios probabilísticos son indicios; pera nada concluyente.

Saludos.

[Richard R Richard]

Por lo demás como bien dices, los criterios probabilísticos son indicios; pera nada concluyente.

Siempre confío que la probabilidad mas pronto que tarde dará el resultado esperado, la obtención de un primo.
El algoritmo que programé  se plantó en el mismo último número que publicaste para la iteración 55 iniciada con el 49... y aunque Miller -Rabin dice que es compuesto, no he hallado divisores primos  habiendo probado con hasta los primeros 1000 primos (que no es nada con los que podría), la mejor y más rápida librería para hallar factores la he puesto a funcionar, tarda décimas de segundo para los primeros 48 números y continua resistiendo en ese número por mas de 10 hs, queda atascado en la propia librería tratando de encontrar los factores primos, nada que se pueda modificar en código para acelerarlo. 

[Ramoncalvoloco]

Hola
Tengo el leve presentimiento que es probable que este problema se resuelva con grafos, creería que los grafos de divisibilidad pueden proporcionar algún tipo de acercamiento.

[Richard R Richard]

Hola
Tengo el leve presentimiento que es probable que este problema se resuelva con grafos, creería que los grafos de divisibilidad pueden proporcionar algún tipo de acercamiento.

Hola, ¿resolverlo con grafos?... mmmh no me imagino como, y criterios de divisibilidad para todos los primos estaría buenísimo que los hubiera, el problema es que habría que recordarlo para cada uno de ellos, y  hay muchos primos dentro de los naturales  con más de 100 cifras,  así que no lo veo tan útil.
No sé si observaste que dije que la iteración 55 no tenia divisores primos entre los primeros 1000 números primos, así que para que los criterios de divisibilidad apliquen deberías conocerlos para mas de los primeros 1000 primos para que resulten mejor que un algoritmo de división que evalúe si el resto es o no 0.


Dos dias después  con el 49 voy por la iteracion 63 , buscando los factores primos que descomponen el número 7105964373243508243931003675985211574414672863780369000655971109926981296274442288093165186933753059824843132778546864729
actualizo 4 dias despues no presenta ninguna novedad, pero mas tiempo prendido el PC , por algo que no va a demostrar ni refutar nada es un sin sentido, pero estaba bueno, para reafirmar lo dicho que pasando un  tiempo apareciera un primo.