[ani_pascual]

Hola:

...

Hola:

Hola, $$int(A)=[1,4)$$,
$$\bar{A}=[1,4]$$

Ojo, como dices después \( 4 \) no está en la clausura.

De hecho el complementario de \( A \) es abierto y por tanto \( A \) es cerrado (coincide con su clausura):

\( \Bbb R\setminus A=\underbrace{(-\infty,1)\cup (4,+\infty)}_{\in \tau_u}\cup \underbrace{\{4\}}_{\subset \Bbb Q} \)

...

¡Cierto! Se me pasó... me pudo el deseo de aplaudir 
En efecto, \( A\in \tau \)  y \( A\in {\cal C}_{\tau} \) (es abierto y cerrado); pues \( A=(1,4)\cup \{1\} \) con \( (1,4)\in\tau_u \) y \( \{1\}\subset\Bbb Q \) y, como bien dices, \( \Bbb R\setminus A=(-\infty,1)\cup (4,+\infty)\cup \{4\}\in\tau \), pues \( (-\infty,1)\cup (4,+\infty)\in\tau_u \) y \( \{4\}\subset \Bbb Q \), luego \( A \) y \( \Bbb R\setminus A \) son cerrados y, por tanto, \( \overline{A}=A \) y \( \overline{\Bbb R\setminus A}=\Bbb R\setminus A \).
Creo que más tarde añadiré los otros apartados...  . A ver si me echas un cable en las correcciones ... 
Saludos

[ani_pascual]

Hola:
Estos son los apartados que quedaban... 
iv) Descríbase la topología cociente \( \tau/\sim\hspace{0.5cm} \) siendo \( \sim \) la relación de equivalencia dada por \( x\sim y\Longleftrightarrow x,y\in\mathbb{Q} \).
v) Estúdiese la convergencia en \( (\mathbb{R},\tau) \) de las sucesiones \( \left\{\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} \) y \( \left\{1+\frac{1}{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} \), así como la convergencia de las sucesiones imagen (por la proyección natural \( p:\Bbb R\longrightarrow \Bbb R/\sim \)) de las dadas en \( (\mathbb{R}/\sim,\tau/\sim)\,\, \) (espacio cociente respecto a la relación de equivalencia \( \sim \))
Saludos