Estoy estudiando una construcción determinista basada en los huecos entre números primos consecutivos.
El punto de partida de la investigación es una observación concreta alrededor del primo 103.
La sucesión es:
89 → 97 → 101 → 103
y los huecos son:
8, 4, 2.
Lo llamativo no es simplemente que podamos hacer una suma y obtener 103. El fenómeno es que una construcción basada en los huecos acumulados de la sucesión de primos produce el mismo valor futuro en varias posiciones antes de que 103 aparezca como primo.
Para cada primo p y su hueco g, definimos primero S como la suma acumulada de los huecos anteriores. En esta construcción S = p - 2. Después definimos V = S + g.
En el caso de 103:
Cuando llegamos al primo 97, el hueco es 4.
Por tanto:
S = 97 + 4 - 2 = 99
y después:
V = 99 + 4 = 103
Es decir: cuando todavía estamos en el primo 97, la construcción ya ha determinado el valor futuro 103, aunque 103 todavía no ha aparecido en la sucesión de primos.
La fila anterior produce exactamente el mismo valor:
S = 89 + 8 - 2 = 95
y:
V = 95 + 8 = 103
Por tanto tenemos dos representaciones distintas del mismo valor:
95 + 8 = 103
99 + 4 = 103
Después la sucesión continúa:
97 → 101 → 103
y finalmente aparece la tercera representación:
101 + 2 = 103
El mismo valor aparece así en tres posiciones consecutivas, con los huecos 8, 4 y 2.
El mecanismo también puede producir valores compuestos. Por ejemplo:
395 + 8 = 403
399 + 4 = 403
pero 403 = 13 × 31.
Por tanto, el fenómeno que quiero entender no es que una operación con primos produzca a veces otro primo. Es que distintas posiciones construidas a partir de los huecos acumulados pueden converger exactamente en el mismo valor futuro, antes de que ese valor aparezca en la sucesión de primos.
Además, cuando dos posiciones consecutivas producen el mismo V, aparece una relación muy sencilla entre sus huecos: el segundo hueco es la mitad del primero.
Eso explica cadenas como:
8, 4, 2
16, 8, 4, 2
32, 16, 8, 4, 2
Mi pregunta es:
¿Existe en teoría de números alguna interpretación conocida de estas convergencias?
En particular, ¿existe algún resultado que explique por qué distintas trayectorias construidas a partir de los huecos entre primos pueden mantener exactamente el mismo valor V y hacer que ese valor quede determinado antes de que aparezca como primo?
No estoy planteando que toda convergencia implique que V sea primo. Lo que quiero entender es el mecanismo matemático de la convergencia y del anuncio anticipado del valor.
