[Albersan]

Hola, ¿cómo están?.

¿Podrían por favor ayudarme con esta ecuación diferencial?

Considere la ecuación \( y''+{\lambda}y=0 \), sujeta a las condiciones de frontera, \( y(-L)=y(L) \)   y   \( y'(-L)=y'(L) \).

Demuestre que las funciones propias son: \( \left\{{1, cos({\displaystyle\frac{\pi}{L}}x), cos({\displaystyle\frac{2\pi}{L}}x),..., sen({\displaystyle\frac{\pi}{L}}x), sen({\displaystyle\frac{2\pi}{L}}x), sen({\displaystyle\frac{3\pi}{L}}x),.... }\right\} \)



Muchas gracias,



Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Hola, ¿cómo están?.

¿Podrían por favor ayudarme con esta ecuación diferencial?
...

\(  
y''+\lambda y=0\\r^2+\lambda=0\\r=\pm \sqrt{|\lambda|}i\Longrightarrow\\y_H=C_1\cos(\sqrt{|\lambda|}x)+C_2\sin(\sqrt{|\lambda|}x) \) es la solución general de la ecuación homogénea.
Ahora bien, \( y_H(L)=y_H(-L)\Longrightarrow 2C_2\sin(\sqrt{|\lambda|}L)=0\Longrightarrow \sqrt{|\lambda|}L=k\pi ,\,k\in\mathbb{Z} \).
Así, un sistema de soluciones l.i.es \( \left\{\cos\left(\dfrac{k\pi x}{L}\right),\sin\left(\dfrac{k\pi x}{L}\right)\right\}_{k\in\mathbb{Z}} \)
Saludos

[Albersan]

Gracias ani_pascual, me queda más claro: Solo quisiera hacer 2 preguntas:


¿Por qué has usado sólamente la condición  \( y_H(-L)=y_H(L) \), y no la condición \( y'_H(-L)=y'_H(L) \) ?

¿Es, por ejemplo,  \( \left\{{cos(\displaystyle\frac{k\pi}{L}x)+sen(\displaystyle\frac{k\pi}{L}x),cos(\displaystyle\frac{k\pi}{L}x)-sen(\displaystyle\frac{k\pi}{L}x)}\right\}_{k\in{\mathbb{Z}}} \) también un sistema de soluciones linealmente independiente?



Muchas gracias.





Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
 Solo quisiera hacer 2 preguntas:


¿Por qué has usado sólamente la condición  \( y_H(-L)=y_H(L) \), y no la condición \( y'_H(-L)=y'_H(L) \) ?

¿Es, por ejemplo,  \( \left\{{cos(\displaystyle\frac{k\pi}{L}x)+sen(\displaystyle\frac{k\pi}{L}x),cos(\displaystyle\frac{k\pi}{L}x)-sen(\displaystyle\frac{k\pi}{L}x)}\right\}_{k\in{\mathbb{Z}}} \) también un sistema de soluciones linealmente independiente?
...

Creo que se llega a la misma conclusión.
\( y_H'(x)=-C_1\sqrt{|\lambda|}\sin\left(\sqrt{|\lambda|}x\right)+C_2\sqrt{|\lambda|}\cos\left(\sqrt{|\lambda|}x\right) \) luego
\( y'_H(L)=y'_H(-L)\Longrightarrow 2C_1\sqrt{|\lambda|}\sin\left(\sqrt{|\lambda|}L\right)=0\Longrightarrow \sqrt{|\lambda|}L=k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z} \).
De todas formas, el sistema de soluciones l.i. de la ecuación \( y''+\lambda y=0 \) que aparece en el primer mensaje, creo que es válido cuando es \( \lambda >0 \).
Si es \( \lambda <0 \), me parece que sería \( \left\{e^{\sqrt{|\lambda|}x},e^{-\sqrt{|\lambda|}x}\right\} \), es decir, \( y(x)=C_1e^{\sqrt{|\lambda|}x}+C_2e^{-\sqrt{|\lambda|}x} \),
y habría que ver a qué conclusión se llega imponiendo las condiciones \( y(L)=y(-L), y'(L)=y'(-L) \) 

Añadido

Spoiler

Tras analizarlo llego a que si es \( \lambda <0 \) entonces no es autovalor, ya que se llega a que \( y\equiv 0 \) (solución trivial), pues
\( C_1+C_2=0=C_1-C_2\Longrightarrow C_1=C_2=0 \).
Si es \( \lambda >0 \) entonces los autovalores son \( \lambda_k=\left(\dfrac{k \pi}{L}\right)^2 \) y las soluciones propias correspondientes \(  y(x,\lambda_k)=(-1)^k\left[a\cos\left(\sqrt{\lambda_k}x\right)+\dfrac{b}{\sqrt{\lambda_k}}\sin\left(\sqrt{\lambda_k}x\right)\right] \)
suponiendo que es \( y(L)=y(-L)=a\\y'(L)=y'(-L)=b \).
Si es \( \lambda=0 \) también es autovalor y su función propia correspondiente es \(  y(x,0)=C  \) (constante).

[cerrar]

Saludos

[Albersan]

Hola ani_pascual,

Muchas gracias!!, tu respuesta me ha sido de gran utilidad.

Saludos.