[ani_pascual]

Sea \( (X,\tau) \) un espacio topológico y \( A\subset X \) un cerrado no vacío en \( (X,\tau) \); si la función \( f:(A,\tau_A)\longrightarrow (\mathbb{R},\tau_u) \) es continua y \( f(\partial A)=\{0\} \), siendo \( \tau_A \) la topología de subespacio en \( A \), \( \tau_u \) la topología usual en la recta real y \( \partial A \) la frontera de \( A \) en \( (X,\tau) \), pruébese que la función
\( \tilde{f}:(X,\tau)\longrightarrow (\mathbb{R},\tau_u) \) definida por \( \tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lr}f(x)&x\in A\\0&x\notin A\end{array}\right. \) es una extensión continua de \( f \).
\( \begin{array}{ccc}(A,\tau_A)&\stackrel{i}{\hookrightarrow}&(X,\tau)\\f\downarrow & \swarrow \tilde{f}&\\(\mathbb{R},\tau_u)&&\end{array} \)

Más adelante propondré una resolución personal del ejercicio en spoiler, pero me gustaría conocer otras posibles demostraciones. Gracias con antelación 

Nota: He cambiado los títulos de los $$Facilemas$$ sobre topología general anteriores con el fin de que sean un poco más específicos. 
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PD: Añado una posible resolución por si algún lector/a tiene interés...

Resolución

El siguiente ejemplo es un caso particular, pero más familiar para los estudiantes, y la prueba será aún más inmediata.
Si \( A=[-1,1]\subset\mathbb{R} \), que es cerrado, y se considera la función \( f:[-1,1]\longrightarrow \mathbb{R} \) dada por \( f(x)=1-|x| \), que es continua en \( [-1,1] \), se tiene que \( \partial A=\{-1,1\} \) y \( f(-1)=f(1)=0 \); es sencillo probar que la función \( \tilde{f}:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) dada por \( \tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcr}0&;&x<-1\\1-|x|&;&-1\leq x\leq 1\\0&;&x>1\end{array}\right. \) es una extensión continua de \( f \) a \( \mathbb{R} \), ya que
\( \lim\limits_{x\to -1^{-}} \tilde{f}(x)=\lim\limits_{x\to -1^{+}}\tilde{f}(x)=\lim\limits_{x\to -1^{+}} 1+x=f(-1)=0\\
\lim\limits_{x\to 1^{-}} \tilde{f}(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}} 1-x=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\tilde{f}(x)=f(1)=0, \)
con lo que \( \tilde{f} \) es continua en \( -1 \) y en \( 1 \), pero también en \( \mathbb{R}\setminus [-1,1] \), pues \( \tilde{f} \) es nula (constante) fuera de \( [-1,1] \) y claramente es continua en \( [-1,1] \). Además la restricción \( \tilde{f}\left.\right|_{[-1,1]}=f \).

Vamos con una prueba, más general, del ejercicio propuesto:

Es claro, por definición, que \( \tilde{f} \) es una extensión de \( f \) a \( X \), ya que \( \tilde{f}\left.\right|_{A}=f \); veamos que \( \forall\,x\in X \) es \( \tilde{f} \) continua en \( x \). Como en \( (X,\tau),  \) es \( A=\overline{A}=\stackrel{\circ}{A}\cup \,\partial A \), o en otra notación, \( A=Cl(A)=Int(A)\cup Fr(A) \), distinguimos tres casos.
a) Si \( x\in \stackrel{\circ}{A}=Int(A) \):
Existe \( G\in\tau \) tal que \( x\in G\subset A \), luego dado \( \varepsilon >0 \), por la continuidad de \( f:(A,\tau_A)\longrightarrow (\mathbb{R},\tau_u) \), existe \( U\in\tau \) con \( x\in U\cap A \) tal que \( f(U\cap A)\subseteq (f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon) \). Si se considera, pues, \( V=G\cap U\in\tau \), se tiene \( x\in V \) y \( \tilde{f}(V)\subset \tilde{f}(U\cap A)=f(U\cap A)\subset (f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)=(\tilde{f}(x)-\varepsilon,\tilde{f}(x)+\varepsilon) \) y así es \( \tilde{f} \) continua en \( x \).
b) Si es \( x\in \partial A=Fr(A) \):
Dado \( \varepsilon >0 \) existe \( U\in\tau \) con \( x\in U \) tal que \( f(U\cap A)\subset
(f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)=(-\varepsilon,\varepsilon) \); entonces \( \tilde{f}(U)=\tilde{f}[(U\cap A)\cup (U\cap (X\setminus A))]=\tilde{f}(U\cap A)\cup \tilde{f}[(U\cap (X\setminus A)]=f(U\cap A)\cup \{0\}\subset (-\varepsilon,\varepsilon)=(f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon)=(\tilde{f}(x)-\varepsilon,\tilde{f}(x)+\varepsilon) \), y así es \( \tilde{f} \) continua en \( x \).
c) Si \( x\notin A \), como \( (X\setminus A)\in\tau  \), dado \( \varepsilon >0 \), basta con tomar \( X\setminus A \), pues \( x\in X\setminus A \) y es \( \tilde{f}(X\setminus A)=\{0\}\subset (-\varepsilon,\varepsilon)=(\tilde{f}(x)-\varepsilon,\tilde{f}(x)+\varepsilon) \), luego es \( \tilde{f} \) continua en \( x \).
En definitiva, \( \tilde{f} \) es continua en \( x,\,\forall\,x\in X \)

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Saludos