Demostrar que los centros de todos los paralelogramos que pueden inscribirse en un cuadrilátero dado, de tal manera que sus lados sean paralelos a las diagonales del cuadrilátero, yacen sobre una línea recta.
Sea \( ABCD \) el cuadrilátero y \( E \) un punto en el segmento \( \overline{AB} \), trazando una paralela a \( AC \) desde \( E \) siempre será posible construir el paralelogramo \( EFGH \):
Ya que siempre podremos encontrar un punto \( H \) tal que \( HG \parallel AC \parallel EF \) con \( HG = EF
\).
Ahora por semejanza de triángulos se tiene que:
\[ \displaystyle\frac{BF}{BC} = \displaystyle\frac{EF}{AC} = \displaystyle\frac{HG}{AC} = \displaystyle\frac{DG}{DC} \]
Por lo que se tiene la semejanza \[ \triangle{CFG} \sim \triangle{CBD} \], de donde \[ FG \parallel BD \parallel EH \]. Por tanto el paralelogramo así construido siempre cumplirá todas las condiciones del enunciado.
Llamando ahora \( M \) y \( N \) a los puntos medios de \( AC \) y \( BD \):
\( P \) es la intersección entre \( MN \) y la paralela a \( AC \) trazada desde el punto medio (\( N' \)) de \( EH \), intersección que siempre puede hallarse ya que \( P \) se aproxima a \( M \) cuando \( EF \) se aproxima a \( AC \), y a \( N \) cuando \( EH \) se aproxima a \( BD \).
Y por las semejanzas \( \triangle EBM' \sim \triangle ABM \), \( \triangle EAN' \sim \triangle BAN \) y \( \triangle N'NP \sim \triangle ANM \), se tiene:
\[ \displaystyle\frac{MM'}{MB} = \displaystyle\frac{AE}{AB} = \displaystyle\frac{AN'}{AN} = \displaystyle\frac{MP}{MN} \]
De donde \( \triangle M'MP \sim \triangle BMN \) y por tanto \( M'P \parallel BN \), por lo que \( P \) es centro del paralelogramo y este estará siempre en la recta \( NM \)..
Saludos.
