[Pie]

Uno facilito (diría ) para acabar la serie de 10 ángulos \( \phi \). 😁🥳


Si los radios de los círculos azules son iguales, calcular \( \phi \):



Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Uno facilito (diría ) para acabar la serie de 10 ángulos \( \phi \). 😁🥳


Si los radios de los círculos azules son iguales, calcular \( \phi \):
...

Un intento...  (a ver si no la he liao )

Spoiler

Llamando \( r \) al radio de las circunferencias azules y \( K \) al radio de la circunferencia roja, se tiene:
\( \left\{\begin{array}{l}2r(OM+K)=AM\cdot MB \mbox{ (potencia punto }M) \\\dfrac{OM}{AM}=\dfrac{r}{OS}=\tan(\phi/2)\end{array}\right. \).
Pero como \( AM=MB, OS=K-BS \) y \(  BS=BT=OM \), se tiene que
\( \left\{\begin{array}{l}2r(BT+K)=AM^2\\\dfrac{BT}{AM}=\dfrac{r}{K-BT}\end{array}\right.\Longrightarrow \dfrac{2BT(K-BT)(K+BT)}{AM}=AM^2\Longrightarrow 2BT(K^2-BT^2)=AM^3  \).
Dividiendo ahora ambos miembros por \( K^3 \) se obtiene \( 2\sin(\phi/2)\cos^2(\phi/2)=\cos^3(\phi/2) \) de donde \( \tan(\phi/2)=\dfrac{1}{2} \) y, por tanto, \( \boxed{\phi=2\arctan(1/2)\simeq 53,13^{\circ}} \)

[cerrar]

Saludos

[Pie]

Hola:

Uno facilito (diría ) para acabar la serie de 10 ángulos \( \phi \). 😁🥳


Si los radios de los círculos azules son iguales, calcular \( \phi \):
...

Un intento...  (a ver si no la he liao )

Spoiler

Llamando \( r \) al radio de las circunferencias azules y \( K \) al radio de la circunferencia roja, se tiene:
\( \left\{\begin{array}{l}2r(OM+K)=AM\cdot MB \mbox{ (potencia punto }M) \\\dfrac{OM}{AM}=\dfrac{r}{OS}=\tan(\phi/2)\end{array}\right. \).
Pero como \( AM=MB, OS=K-BS \) y \(  BS=BT=OM \), se tiene que
\( \left\{\begin{array}{l}2r(BT+K)=AM^2\\\dfrac{BT}{AM}=\dfrac{r}{K-BT}\end{array}\right.\Longrightarrow \dfrac{2BT(K-BT)(K+BT)}{AM}=AM^2\Longrightarrow 2BT(K^2-BT^2)=AM^3  \).
Dividiendo ahora ambos miembros por \( K^3 \) se obtiene \( 2\sin(\phi/2)\cos^2(\phi/2)=\cos^3(\phi/2) \) de donde \( \tan(\phi/2)=\dfrac{1}{2} \) y, por tanto, \( \boxed{\phi=2\arctan(1/2)\simeq 53,13^{\circ}} \)

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Saludos

Está bien.

Una forma más directa:

Spoiler

Siguiendo con tu misma notación se tiene:

\[ SB = BT = MO = K - 2r \]

Por tanto:

\[ OS = K - SB = K - (K-2r) = 2r\Longrightarrow{}
 \]

\[ \tan(\phi/2) = \displaystyle\frac{SI}{OS} = \displaystyle\frac{r}{2r} = \displaystyle\frac{1}{2} \Longrightarrow \]

\[ \phi = 2\arctan(1/2) \]

[cerrar]

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Está bien.

Una forma más directa:
...

Spoiler

...

Siguiendo con tu misma notación se tiene:

\[ SB = BT = MO = K - 2r \]

Por tanto:

\[ OS = K - SB = K - (K-2r) = 2r\Longrightarrow{}
 \]

\[ \tan(\phi/2) = \displaystyle\frac{SI}{OS} = \displaystyle\frac{r}{2r} = \displaystyle\frac{1}{2} \Longrightarrow \]

\[ \phi = 2\arctan(1/2) \]

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...

Pues mucho más directa, cierto...
Parece que me gusta liarme la manta  
Saludos