[zorropardo]

En un cuadrilátero inscrito $$ABCD$$ con diagonales $$AC$$ y $$BD$$, sean $$H_1$$ y $$H_2$$ los ortocentros de los triángulos $$ACD$$ y $$BCD.$$ Demuestre que el segmento $$\vec{H_1 H_2}  \  // \  \vec{ AB}$$ y $$H_1 H_2 = AB.$$

[Pie]

En un cuadrilátero inscrito $$ABCD$$ con diagonales $$AC$$ y $$BD$$, sean $$H_1$$ y $$H_2$$ los ortocentros de los triángulos $$ACD$$ y $$BCD.$$ Demuestre que el segmento $$\vec{H_1 H_2}  \  // \  \vec{ AB}$$ y $$H_1 H_2 = AB.$$

Este me ha costado, aunque no se si me he complicado demasiado.. 

Spoiler

Lo que voy a demostrar es que el cuadrilátero \( H_1ABH_2 \) es un paralelogramo, lo que demuestra las dos cosas que se piden:



En primer lugar, por ser \( ABCD \) un cuadrilátero inscrito sus ángulos opuestos deben sumar \( 180^o \), de donde se deduce la igualdad de ángulos marcados en rojo y azul. Además por ángulos inscritos se tiene que \( \angle BDA = \angle BCA
 \), y por semejanza de triángulos rectángulos \( \angle HDK = \angle KCF \) y \( \angle LCI = \angle JDL \), por lo que el cuadrilátero \( DH_1H_2C \) es inscriptible, por tener ángulos iguales abarcando la cuerda \( H_1H_2 \). De ahi se sigue que:

\( \angle H_1H_2D = \angle H_1CD = \angle DAE \Longrightarrow \angle H_1AB = \angle BH_2H_1 \)

De forma análoga se deduce que \( \angle ABH_2 = \angle H_2H_1A \), y asi \( H_1ABH_2 \) es un paralelogramo.

[cerrar]

Saludos.