Sea \( \varphi:[0,1]\to[0,1] \) una función. Se imponen las siguientes condiciones:
Y:
\[
\varphi(0)=0, \qquad \varphi(1)=1.
\]
\[
\varphi'(p)>0 \quad \text{para todo } p\in(0,1).
\]
Existe un único \( p^*\in(0,1) \) tal que
\[
\varphi''(p)
\begin{cases}
<0, & p<p^*,\\
=0, & p=p^*,\\
>0, & p>p^*.
\end{cases}
\]
Con,
\[
\varphi'(0)=+\infty, \qquad \varphi'(1)=+\infty.
\]
Además,
\[
\varphi(p)\le p \quad \text{para todo } p\in(0,1).
\]
El problema consiste en caracterizar de forma completa la familia de todas las funciones \( \varphi \) que satisfacen simultáneamente esas condiciones.
