[zorropardo]

En un paralelogramo $$ABCD$$ con diagonales $$AC$$ y $$BD,$$  sea $$H$$ el ortocentro del triángulo $$ABD$$ y $$O$$ el circuncentro del triángulo $$BCD.$$ Demuestre que los puntos $$H, O$$ y $$C$$ son colineales.

[Pie]

En un paralelogramo $$ABCD$$ con diagonales $$AC$$ y $$BD,$$  sea $$H$$ el ortocentro del triángulo $$ABD$$ y $$O$$ el circuncentro del triángulo $$BCD.$$ Demuestre que los puntos $$H, O$$ y $$C$$ son colineales.

Por ser un paralelogramo se tiene que \( \angle DBC = BDA \), y por ser \( \triangle{DFB} \) rectángulo:

\[ \angle FBD + \angle BDF = 90^o \Longrightarrow \angle FBD + \angle DBC = 90^o \Longrightarrow \angle HBC = 90^o  \]

De forma analoga se deduce que \( \angle CDH = 90^o \), y de ahi que \( HC \) es diámetro de la circunferencia circunscrita..

Saludos.