[zorropardo]

En un trapezoide $$ABCD,$$ con bases $$AB$$ y $$CD$$ y lados no paralelos $$AD$$ y $$BC,$$ sea $$M$$ el punto medio de la base $$CD.$$ El segmento $$AM$$ interseca la diagonal $$BD$$ en $$F.$$ Trazamos por $$F$$ la recta $$r,$$ paralela a las bases. Si $$r$$ interseca los segmentos $$AD, AC$$ y $$BC$$ respectivamente en $$E, G$$ y $$H,$$ demostrar que: $$EF = FG = GH.$$

[ani_pascual]

Hola:

En un trapezoide $$ABCD,$$ con bases $$AB$$ y $$CD$$ y lados no paralelos $$AD$$ y $$BC,$$ sea $$M$$ el punto medio de la base $$CD.$$ El segmento $$AM$$ interseca la diagonal $$BD$$ en $$F.$$ Trazamos por $$F$$ la recta $$r,$$ paralela a las bases. Si $$r$$ interseca los segmentos $$AD, AC$$ y $$BC$$ respectivamente en $$E, G$$ y $$H,$$ demostrar que: $$EF = FG = GH.$$

Una forma un poco liosa ...

Spoiler

Por el teorema de Tales, \( \textcolor{blue}{\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AC}{AG}}, \dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DM}{EF},
\dfrac{AC}{AG}=\dfrac{MC}{FG} \) luego \( \dfrac{DM}{EF}=\dfrac{MC}{FG} \) y como \( DM=MC \) resulta \( EF=FG \).
Por otro lado \(
\dfrac{GC}{AC}=\dfrac{GH}{AB},
\dfrac{DF}{BD}=\dfrac{EF}{AB}\Longrightarrow \dfrac{GH}{EF}=\dfrac{GC/AC}{DF/BD}=1 \) ya que \( \dfrac{GC}{AC}=\dfrac{DF}{BD} \) por la semejanza \( \triangle{DOC}\sim\triangle{BOA} \) y ser \( r||AB||DC \)

[cerrar]

Saludos

[Pie]

No se si me compliqué demasiado..

Spoiler

Llamando \( G' = AC \cap{} MB  \) y \( N \) al punto medio de \( AB \):



Por ser \( \triangle{DJC} \) y \( \triangle{BJA} \) semejantes \( MN \) debe pasar por \( J \). Entonces por el teorema de Ceva:

\[ \frac{AF}{FM} \cdot{}\frac{MG'}{G'B}\cdot \frac{BN}{NA} = 1\Longrightarrow{} \]

\[ \frac{AF}{FM} = \frac{G'B}{MG'}  \]

Por tanto los triángulos \( \triangle{FMG'} \) y \( \triangle{AMB} \) son semejantes, de donde \( FG' \parallel AB \) y por tanto \[ G' = G \]. Y así por Tales se tiene:

\[ \frac{EF} {FG} = \frac{DM}{MC} = 1 \Longrightarrow{}EF = FG \]

\[ \frac{GH} {FG} = \frac{MC}{DM} = 1 \Longrightarrow{} GH = FG \]

[cerrar]

Saludos.

[zorropardo]

Hola, no entendi la parte donde dices: aplicando Tales. Aplicas Tales al quadrilátero   $$EGDC$$ 

Pero para aplicar Tales necesito que 2 rectas sean paraleas ou existe otro resultado 

[Pie]

Hola, no entendi la parte donde dices: aplicando Tales. Aplicas Tales al quadrilátero   $$EGDC$$ 

Pero para aplicar Tales necesito que 2 rectas sean paraleas ou existe otro resultado 

\( EH \) es paralela a \( DC \), luego se tiene la semejanza de triángulos \[ \triangle{EAG} \sim \triangle{DAC} \], así la proporción entre \( EF \) y \( FG \) debe ser la misma que entre \( DM \) y \( MC \) (en este caso \( 1 \)). Y lo mismo con los triángulos \( \triangle{HBF} \) y \( \triangle{CBD} \)..

Saludos.

[zorropardo]

Excelente, muy agradecido.