Hola
Asi de (3) y (4), tenemos que dado $$c_1 c_2 \in \mathbb{R}$$ tal que $$b_1 b_2>c_1 c_2$$ existe $$xy \in AB$$ tal que $$c_1 c_2 <xy \leq b_1 b_2.$$
Luego $$b_1 b_2$$ es la menor de las cotas superiores del conjunto $$AB$$ osea $$b_1 b_2=sup(AB)$$
Por tanto $$sup(A)sup(B)=sup(AB.)$$ Esta bien , o donde esta el error 
El problema es que tu lo que tienes que probar es que dado \( c\in \Bbb R \) si \( b_1b_2>c \) entonces existe \( xy\in AB \) tal que \( c<xy\leq b_1b_2 \).
Y no es eso lo que has probado en lo que he marcado en rojo.
Podrías hacer algo así (parte de lo que sugirió david__bernal).
Si \( c<b_1b_2 \) entonces \( cb_2^{-1}<b_1 \) y por (3) existe un \( x\in A \) positivo tal que \( cb_2^{-1}<x\leq b_1 \). De donde \( c<xb_2\leq b_1b_2 \).
Entonces \( x^{-1}c<b_2 \) y por \( (4) \) existe un \( y\in B \) tal que \( x^{-1}c<y\leq b_2 \), de donde \( c<xy\leq xb_2\leq b_1b_2 \).
saludos.
