[ani_pascual]

Hola:

Debe existir otra forma en que el libro concluye la siguiente desigualdad:

$$ \Big( \frac{b+c}{a} \Big)^2+\Big( \frac{c+a}{b} \Big)^2+\Big( \frac{a+b}{c} \Big)^2    \geq{12} $$

No lo he pensado a fondo, pero observo que si fuera cierta la desigualdad
\( (\ast)\,\,\dfrac{3}{abc}\leq \dfrac{1}{a^3}+
\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3} \), la cual no he verificado...  , entonces
\( \left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2+\left(\dfrac{c+a}{b}\right)^2+\left(\dfrac{a+b}{c}\right)^2\geq \dfrac{4bc}{a^2}+\dfrac{4ca}{b^2}+\dfrac{4ab}{c^2}=\\4abc\left(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right)\stackrel{(\ast)}{\geq}12 \)
Nota: En el primer paso he usado que \( x^2+y^2\geq 2xy,\,\,\forall\,x,y\in\mathbb{R} \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Debe existir otra forma en que el libro concluye la siguiente desigualdad:

$$ \Big( \frac{b+c}{a} \Big)^2+\Big( \frac{c+a}{b} \Big)^2+\Big( \frac{a+b}{c} \Big)^2    \geq{12} $$

Lo que se tiene es que:

$$ \Big( \frac{b+c}{a} \Big)^2+\Big( \frac{c+a}{b} \Big)^2+\Big( \frac{a+b}{c} \Big)^2= \Big( \frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2} \Big)+ \Big( \frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}   \Big)+2 \Big(  \frac{bc}{a^2} + \frac{ac}{b^2} + \frac{ab}{c^2} \Big) $$

y si para cada uno de los sumandos aplicas la desigualdad aritmético-geométrica:

\( \dfrac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}\quad \Leftrightarrow{}\quad x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz} \)

te queda:

$$ \Big( \frac{b+c}{a} \Big)^2+\Big( \frac{c+a}{b} \Big)^2+\Big( \frac{a+b}{c} \Big)^2= \Big( \frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2} \Big)+ \Big( \frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}   \Big)+2 \Big(  \frac{bc}{a^2} + \frac{ac}{b^2} + \frac{ab}{c^2} \Big)\geq 3+3+2\cdot 3=12 $$

Hola:

Debe existir otra forma en que el libro concluye la siguiente desigualdad:

$$ \Big( \frac{b+c}{a} \Big)^2+\Big( \frac{c+a}{b} \Big)^2+\Big( \frac{a+b}{c} \Big)^2    \geq{12} $$

No lo he pensado a fondo, pero observo que si fuera cierta la desigualdad
\( (\ast)\,\,\dfrac{3}{abc}\leq \dfrac{1}{a^3}+
\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3} \), la cual no he verificado...  , entonces
\( \left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2+\left(\dfrac{c+a}{b}\right)^2+\left(\dfrac{a+b}{c}\right)^2\geq \dfrac{4bc}{a^2}+\dfrac{4ca}{b^2}+\dfrac{4ab}{c^2}=\\4abc\left(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\right)\stackrel{(\ast)}{\geq}12 \)
Nota: En el primer paso he usado que \( x^2+y^2\geq 2xy,\,\,\forall\,x,y\in\mathbb{R} \)

De nuevo (*) es cierto por la desigualdad aritmético-geométrica.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

....

De nuevo (*) es cierto por la desigualdad aritmético-geométrica.
...

¡Es cierto!    Basta con aplicarlo a \( x=\dfrac{1}{a^3},y=\dfrac{1}{b^3}, z=\dfrac{1}{c^3} \)
Gracias 🙂
Saludos