[zorropardo]

Sea $$a_{n}$$ una sucesion de números reales tal que la serie $$\sum_{k,1} a_{k}$$ es absolutamente convergente ( esto es $$\sum_{k,1} |a_{k}|$$  es convergente ) con $$\sum_{k,1}a_{k}=0.$$

Probar que la serie:

$$\sum_{n \geq 1} \Big(      \frac{a_{1}}{(n-1)^2}  +  \frac{a_{2}}{(n-2)^2}    +...+  \frac{a_{n-1}}{1^2}       \Big)$$

converge y calcule el valor de su suma.

[Masacroso]

La serie la puedes reescribir como

\[
\sum_{n\geqslant 1}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{a_k}{(n-k)^2}
\]

Para ver la convergencia absoluta observa que

\[
\sum_{n\geqslant 1}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{|a_k|}{(n-k)^2}=\sum_{1\leqslant k<n<\infty }\frac{|a_k|}{(n-k)^2}
=\sum_{k\geqslant 1}\sum_{n>k}\frac{|a_k|}{(n-k)^2}=\sum_{k\geqslant 1}\frac{\pi^2}{6}|a_k|=\frac{\pi^2}{6}\sum_{k\geqslant 1}|a_k|
\]

Luego la serie converge absolutamente. Por tanto para sumar la serie podemos reordenarla como queramos, y por tanto tenemos que

\[
\sum_{n\geqslant 1}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{a_k}{(n-k)^2}=\sum_{k\geqslant 1}\sum_{n>k}\frac{a_k}{(n-k)^2}=\sum_{k\geqslant 1}\frac{\pi^2}{6}a_k
\]

de donde se sigue que el valor de la serie es cero.∎