[Carlos Ivorra]

Supongo querías poner:

Probar que :

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)}  } = \color{red}\ln(e/2)\color{black} $$

Gracias de antemano.

¿No estás confundiendo las dos series? Ésa tiende a \( \ln 2 \). La que dice ani_pascual es otra.

[delmar]

Hola:

...

Y es conocido que esa serie tiende a \( \ln 2 \).
...

Hola:
Entonces... \(  \lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{4\cdot 5}+\cdots +\dfrac{1}{(2k)(2k+1)}=\ln\left(\dfrac{e}{2}\right) \), ¿no? 
Saludos

La sucesión del enunciado converge a \( ln \ 2 \),  lo que has puesto es otra sucesión y también es correcta.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Probar que :

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)}  } \geq $$    0

Por completar lo dicho, dado que:

\( \dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1} \)

la serie equivale a:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n} \)

Es una serie clásica; se puede probar que su límite es \( ln(2) \) usando por ejemplo la serie de Mc Laurin de \( log(1+x) \).

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Supongo querías poner:

Probar que :

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)}  } = \color{red}\ln(e/2)\color{black} $$

Gracias de antemano.

¿No estás confundiendo las dos series? Ésa tiende a \( \ln 2 \). La que dice ani_pascual es otra.

La verdad es que estoy para el arrastre, gracias por la mirada.

[ani_pascual]

Hola:

Probar que :

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)}  } \geq $$    0
...

Después de lo comentado en el hilo, supongo que ya te será fácil demostrar que \( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{1}{2} \).
Es una propuesta relacionada, que  no creo que merezca separarse de este hilo
Saludos

[zorropardo]

Hola, pero deberia ser :

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \Big( \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)} \Big) } >0$$

y no

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \Big( \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)} \Big) } \geq 0$$

[Carlos Ivorra]

Hola, pero deberia ser :

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \Big( \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)} \Big) } >0$$

y no

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \Big( \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)} \Big) } \geq 0$$

No entiendo tu duda. Ese límite vale \( \ln(2) \) y, ciertamente, \( \ln(2)> 0 \). ¿Cuál es el problema?

[ani_pascual]

Hola:

Hola, pero deberia ser :

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \Big( \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)} \Big) } >0$$

y no

$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{  \Big( \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{(2n-1)(2n)} \Big) } \geq 0$$

En un ejercicio te pueden pedir que demuestres que una cierta expresión es mayor o igual que cero aunque no sea cero; de tal manera que si pruebas que es estrictamente mayor que cero, ya has demostrado que es mayor o igual que cero. Ahora bien, si te piden que demuestres que es estrictamente mayor que cero, entonces no basta con probar que es mayor o igual que cero, sino que deberías probar además que no es cero. Parece de perogrullo 
Saludos

[zorropardo]

Lo decia porque habia modificado el mensaje  original con mayor que cero, despues veo y alguien lo modifico con mayor o igual a cero. Lo modificaré nuevamente  .