En efecto, en muchos sitios lo he visto definido de esta forma. Por eso no me estaba preocupando por las clases de equivalencia (ni siquiera por las formas numéricas, pues se pueden definir una vez que has definido la relación de equivalencia sobre la clase que he llamado \( S \)).
Sí, lo que pasa es que restringirse a formas numéricas no cuesta nada. Da igual hacerlo antes o después, pero no cuesta nada hacerlo antes.
De hecho, creo que es lo que hace Conway, pues aunque no hable de clases de equivalencia define la "igualdad" como algo independiente a la construcción en sí.
Claro, pero eso en ZFC es trampa. No puedes definir la igualdad como una relación arbitraria.
Aquí no te he entendido muy bien. ¿Por qué esto funciona si son clases propias?
Supón definido \( S = \bigcup\limits_{i\in \Omega}S_i \). Define en \( S \) la relación de equivalencia \( x\sim y \) si y sólo si \( x\leq y\land y \leq x \).
Para cada \( x\in S \), sea \( i \) el mínimo ordinal tal que existe un \( y\in S_i \) con \( y\sim x \). Define \( [x] = \{y\in S_i\mid y\sim x\} \).
Entonces \( [x] \) es un conjunto no vacío y se cumple que \( [x] = [x'] \) si y sólo si \( x\sim x' \).
No es toda la clase de equivalencia de \( x \), sino un subconjunto suyo, pero basta para que se cumpla la propiedad fundamental de las clases de equivalencia.
