[Pie]

Si \( F_1 \) y \( F_2 \) son los focos de una elipse que pasa por \( O \), calcular \( \theta \) si \( PF_2 \parallel OF_1 \) (con \( \theta < 180^o \))



Saludos.

[Richard R Richard]

Hola,

Spoiler

fui haciendo deducciones
1) El semieje mayor de la elipse es igual al radio de la circunferencia.
2) Por el paralelismo enunciado,  se puede calcular por pitagoras la distancia  desde los focos al punto P.
3) Y sabiendo que esa distancia son dos semiejes mayores o dos radios.
4) Con esa igualdad construyo una ecuación  cuadrática cuyas soluciones devuelven  el coseno del ángulo theta. Y son 1 o 1/2, la primera no es factible  pero si la segunda, así  que $$\theta$$ es 60°

[cerrar]

Hoy estoy sin pc, mañana presento  los cálculos sí es que he dado con el resultado  correcto.

[Pie]

Hola,

Spoiler

fui haciendo deducciones
1) El semieje mayor de la elipse es igual al radio de la circunferencia.
2) Por el paralelismo enunciado,  se puede calcular por pitagoras la distancia  desde los focos al punto P.
3) Y sabiendo que esa distancia son dos semiejes mayores o dos radios.
4) Con esa igualdad construyo una ecuación  cuadrática cuyas soluciones devuelven  el coseno del ángulo theta. Y son 1 o 1/2, la primera no es factible  pero si la segunda, así  que $$\theta$$ es 60°

[cerrar]

Hoy estoy sin pc, mañana presento  los cálculos sí es que he dado con el resultado  correcto.

Buenas Richard, aunque la idea es más o menos esa, me da un ángulo algo mayor (no entero), tanto con los cálculos como con el geogebra (el dibujo está escala). Asi que se te debió colar algún gazapo por ahi..

Saludos.

[Richard R Richard]

Buenas Richard, aunque la idea es más o menos esa, me da un ángulo algo mayor (no entero), tanto con los cálculos como con el geogebra (el dibujo está escala). Asi que se te debió colar algún gazapo por ahi..

Gracias, reviso haber si lo encuentro a lapiz y papel,  era mucho para postear con el celular. 

Spoiler

$$\theta=77.33°$$

[cerrar]

Si está a escala voy a usar la teoría  del ángulo gordo .

[Pie]

Buenas Richard, aunque la idea es más o menos esa, me da un ángulo algo mayor (no entero), tanto con los cálculos como con el geogebra (el dibujo está escala). Asi que se te debió colar algún gazapo por ahi..

Gracias, reviso haber si lo encuentro a lapiz y papel,  era mucho para postear con el celular. 

Spoiler

$$\theta=77.33°$$

[cerrar]

Si está a escala voy a usar la teoría  del ángulo gordo .

Ese ya se acerca bastante más.. 👍

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( F_1 \) y \( F_2 \) son los focos de una elipse que pasa por \( O \), calcular \( \theta \) si \( PF_2 \parallel OF_1 \) (con \( \theta < 180^o \))



Saludos.

Spoiler

Se tiene que:

\( PF_1=2Rsin((180^o-\theta)/2)=2Rcos(\theta/2) \)
\( PF_2=2Rsin((180^0-2\theta)/2)=2Rcos(\theta) \)

y por la caracterización de la elipse como lugar geométrico cuya suma de distancias a los focos es constante:

\( PF_1+PF_2=OF_1+OF_2=2R \)

Queda:

\( cos(\theta/2)+cos(\theta)=1 \)

y llamando \( \theta/2=x \)

\( cos(x)+cos(2x)=1 \)

\( cos(x)+2cos^2(x)-1=1 \)

\( 2cos^2(x)+cos(x)-2=0 \)

\( cos(x)=\dfrac{-1\pm \sqrt{17}}{4} \)

Sólo está entre \( [-1,1] \) la solución positiva:

\( x=arcos\left(\dfrac{\sqrt{17}-1}{4}\right) \)

\( \theta=2arcos\left(\dfrac{\sqrt{17}-1}{4}\right)\approx 77.3366^o \)

[cerrar]

Saludos.

[Pie]

Hola

Si \( F_1 \) y \( F_2 \) son los focos de una elipse que pasa por \( O \), calcular \( \theta \) si \( PF_2 \parallel OF_1 \) (con \( \theta < 180^o \))



Saludos.

Spoiler

Se tiene que:

\( PF_1=2Rsin((180^o-\theta)/2)=2Rcos(\theta/2) \)
\( PF_2=2Rsin((180^0-2\theta)/2)=2Rcos(\theta) \)

y por la caracterización de la elipse como lugar geométrico cuya suma de distancias a los focos es constante:

\( PF_1+PF_2=OF_1+OF_2=2R \)

Queda:

\( cos(\theta/2)+cos(\theta)=1 \)

y llamando \( \theta/2=x \)

\( cos(x)+cos(2x)=1 \)

\( cos(x)+2cos^2(x)-1=1 \)

\( 2cos^2(x)+cos(x)-2=0 \)

\( cos(x)=\dfrac{-1\pm \sqrt{17}}{4} \)

Sólo está entre \( [-1,1] \) la solución positiva:

\( x=arcos\left(\dfrac{\sqrt{17}-1}{4}\right) \)

\( \theta=2arcos\left(\dfrac{\sqrt{17}-1}{4}\right)\approx 77.3366^o \)

[cerrar]

Saludos.

Saludos.

[Richard R Richard]

Iba  a poner mis cálculos, pero leí la respuesta de Luis y los míos no son iguales pero son muy parecidos;  llegué a una cuadrática  con los coeficiente múltiplos a la de Luis, y por lo tanto con las mismas raíces, en el gazapo primero omití un 2, pero lo corregí luego para llegar al resultado correcto.