Sea $$f:A \rightarrow{B}.$$ Probar que si $$f(X^{c}) \subset{ [f(X)]^{c}}, \quad \forall X \subset{A}$$ entonces $$f$$ es inyectiva.
Supongamos que $$f$$ no es inyectiva, osea dados $$a,b \in A$$ con $$a \neq b$$ tenemos que $$f(a)=f(b).$$
Sea $$X=\{ a \},$$ luego $$ a \in X$$ como $$a \neq b$$ tenemos que $$b \not \in X \Rightarrow{ b \in X^{c}} ,$$ luego $$f(b) \in f(X^{c}).$$
Por otro lado como $$X=\{ a \} \Rightarrow{ f(a) \in f(X)} \Rightarrow{ f(a) \not \in [f(X)]^{c} }.$$ Vimos que $$f(b) \in f(X^{c}),$$ como $$f(a)=f(b)$$
entonces $$f(a) \in f(X^{c}).$$ Por hipotesis $$f(X^{c}) \subset{[f(X)]^{c}}$$ luego $$f(a) \in [f(X)]^{c}$$ absurdo!!!! pues $$f(a) \not \in [f(X)]^{c}.$$
¿Está bien?
