[Quema]

Si tengo v.a. independientes \( X_i \) que toman dos valores \( 1<x_i\leq{}1+n \) y 0 con probabilidades \( 1/x_i \) y \( 1-1/x_i \) respectivamente. Sea \( S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i} \), puede ser que la cota inferior de BE sea

\[
P(S_n < 1+n) \;\geq\;
\Phi\Big(\frac{1}{\sigma}\Big) \;-\;
\frac{C}{\sigma^3\sqrt[ ]{n}} \sum_{i=1}^n \frac{\delta_i^3 + \delta_i}{\delta_i + 1},
\qquad \delta_i = x_i - 1, \;\; \sigma^2 = \sum_{i=1}^n \delta_i
\]

Se puede encontar alguna condición que me asegure que esta cota sea mayor a \( 1/e. \) Capaz, también, puede analizarse si para los \( x_i \) siendo todos iguales de alguna forma descartan los casos donde esos valores son diferentes.

[Quema]

Si esa cota está bien, se cumple que

\( \frac{\delta_i^3 + \delta_i}{\delta_i + 1}\leq \delta_i^2. \) Entonces como \( 0<\delta_i\leq{}n \) tenemos que \( \delta_i^2\leq n\delta_i. \) Tomando sumatoria, y suponiendo que \( C=0.5 \) y que \( \Phi\Big(\frac{1}{\sigma}\Big)\geq 0.5 \) obtenemos que la cota inferior será mayor a \( 1/e \) si

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i}\geq{}n+\displaystyle\frac{n}{(1-2/e)^2} \), está bien?

[Quema]

Adjunto el teorema para variables aleatorias independientes, pero no idénticamente distribuidas. No se si la cota en realidad es

\[
\mathbb{P}(S_n<n+1)=\mathbb{P}\bigl(Z_n<\tfrac{1}{\sigma}\bigr)
\ge \Phi\!\bigl(\tfrac{1}{\sigma}\bigr)
- C\,\frac{\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[|X_i-1|^3]}{\sigma^3}.
\]

Haciendo \[
Z_n=\frac{S_n-\mathbb{E}[S_n]}{\sigma}.
\]

[Luis Fuentes]

Hola

Adjunto el teorema para variables aleatorias independientes, pero no idénticamente distribuidas. No se si la cota en realidad es

\[
\mathbb{P}(S_n<n+1)=\mathbb{P}\bigl(Z_n<\tfrac{1}{\sigma}\bigr)
\ge \Phi\!\bigl(\tfrac{1}{\sigma}\bigr)
- C\,\frac{\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[|X_i-1|^3]}{\sigma^3}.
\]

Haciendo \[
Z_n=\frac{S_n-\mathbb{E}[S_n]}{\sigma}.
\]

Si. Sería así con:

\( \sigma^2=\sum_{i=1}^n(x_i-1) \)

\( E[|X_i-1|^3|=\dfrac{(x_i-1)((x_i-1)^2+1)}{x_i} \)

Añadido:

- Si \( x_i-1\leq 1 \) entonces:

\( \dfrac{(x_i-1)((x_i-1)^2+1)}{x_i}\leq \dfrac{(x_i-1)((x_i-1)+1)}{x_i}=x_i-1 \)

y entonces

 \( \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[|X_i-1|^3]\leq \sigma^2 \)

y en la cota se cumple:

\( \mathbb{P}(S_n<n+1)\geq \Phi\!\bigl(\tfrac{1}{\sigma}\bigr)
- C\,\frac{\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[|X_i-1|^3]}{\sigma^3}\geq \Phi\!\bigl(\tfrac{1}{\sigma}\bigr)-C\cdot \dfrac{1}{\sigma} \)

En la Wikipedia pone que una cota superior de la cota es \( C\approx 0.56 \). Si representamos:

\( f(x)= \Phi\!\bigl(x\bigr)-Cx  \)

comparada con \( 1/e \), se ve que \( f(x)>1/e \) más o menos cuando \( x\in [0,0.7] \).



Equivalentemente cuando \( \sigma\in [1.53,+\infty) \).

Aunque estaba con la condición \( x_i-1\leq 1 \), lo cual supone además la condición \( \sigma\leq \sqrt{n} \).

Saludos.

[Quema]

El segundo término correctivo de la derecha no tiene que ir dividido por \( \sqrt[ ]{n} \)?.

 Es muy restrictiva la condición \( x_i-1\leq{}1 \), en realidad se tiene siempre \( x_i-1\leq{}n \) y lo ideal es encontrar una condición para \( s=\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i}. \)

Creo que \( \dfrac{(x_i-1)((x_i-1)^2+1)}{x_i}\leq ns \) entonces suponiendo el peor escenario \( \Phi\!\bigl(\tfrac{1}{\sigma}\bigr)=0.5 \) y haciendo \( C=0.5 \) para simplificar,

\( 0.5-0.5\dfrac{n^2s}{\sigma^3}\geq{}1/e \) y de ahí despejar \( \sigma^2 \) y creo que da

\[
\sigma^{2} \;\;\ge\;\;
\left(
   n^2s\cdot\frac{e}{\,e-2\,}
\right)^{\tfrac{2}{3}}
\]

por lo tanto \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i}\geq{}n+\left(
   n^2s\cdot\frac{e}{\,e-2\,}
\right)^{\tfrac{2}{3}} \).

[Luis Fuentes]

Hola

El segundo término correctivo de la derecha no tiene que ir dividido por \( \sqrt[ ]{n} \)?.

Ahora mismo no veo a que te refieres.

 

Es muy restrictiva la condición \( x_i-1\leq{}1 \), en realidad se tiene siempre \( x_i-1\leq{}n \) y lo ideal es encontrar una condición para \( s=\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i}. \)

Creo que \( \dfrac{(x_i-1)((x_i-1)^2+1)}{x_i}\leq ns \) entonces suponiendo el peor escenario \( \Phi\!\bigl(\tfrac{1}{\sigma}\bigr)=0.5 \) y haciendo \( C=0.5 \) para simplificar,

Sospecho que si fijas \( \Phi\!\bigl(\tfrac{1}{\sigma}\bigr)=0.5 \), la cota no será nunca demasiado buena. Porque el término que resta tenderá a cero a medida que \( n \) crece.

por lo tanto \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i}\geq{}n+\left(
   n^2s\cdot\frac{e}{\,e-2\,}
\right)^{\tfrac{2}{3}} \).

Por ejemplo si se llega a eso, supuestas equiprobables equivaldría a:

\( nx\geq{}n+\left(n^3x\cdot\frac{e}{\,e-2\,} \right)^{\tfrac{2}{3}} \)

\( x\geq{}1+n\left(x\cdot\frac{e}{\,e-2\,} \right)^{\tfrac{2}{3}} \)

\( n\geq x-1\geq{}n\left(x\cdot\frac{e}{\,e-2\,} \right)^{\tfrac{2}{3}} \)

\( 1\geq \left(x\cdot\frac{e}{\,e-2\,} \right)^{\tfrac{2}{3}} \)

\( x\leq \dfrac{e-2}{e} \)

que no se da nunca porque \( x\geq 1 \).

Saludos.

[Quema]

Me refiero al caso que dice con distribución común, que creo que significa que las variables aleatorias son i.i.d. Si pones las \( x=x_i \) la cota sería otra esa en el denominador \( \sqrt[ ]{n}. \)


Pero justamente la idea es que el término corrector sea chico para que el término de la derecha sea mayor a \( 1/e. \)