Hola
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{\sum_{k=1}^n \left|\sum_{j=1}^k (1+1i\cdot j)\right|}{\sum_{k=1}^n (1+k)} \cdot \frac{1}{n}} \)
Tienes que:
\( a_k=\sum_{j=1}^k (1+1i\cdot j)=k+i\cdot \sum_{j=1}^kj=k+\left(\dfrac{k(k+1)}{2}\right)\cdot i \)
\( n\cdot \sum_{k=1}^n(1+k)=n\cdot \dfrac{n(n+3)}{2}=\dfrac{n^2(n+3)}{2} \)
Tenemos que hallar entonces:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{2\sum_{k=1}^n|a_k|}{n^2(n+3)} \)
Aplicando el Teorema de Stolz-Cesàro el límite equivale a:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{2|a_n|}{n^2(n+3)-(n-1)^2(n+2)}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{\sqrt{4n^2+n^2(n+1)^2}}{n^2(n+3)-(n-1)^2(n+2)}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\dfrac{n\sqrt{4+(n+1)^2}}{3n^2+3n-2}=\dfrac{1}{3} \)
(en el último paso para llegar a \( 1/3 \) basta dividir numerador y denominador por \( n^2 \)).
Saludos.
