[Nub]

Hola

\( \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy - \sin(x)\sin(y)}{x^2 + y^2} \) tengo que calcular esto, y recordando a Taylor de una variable, como hacia yo para resolver estos limites, era el numerador le calculaba el polinomio de Taylor de cierto grado y luego arreglaba todo para que el resto quede dividido sobre algo para que por el teorema de Taylor eso tienda a 0...   entonces le hago el desarollo de taylor a \( f(x,y)=xy - {\sin(x)\sin(y)}{x^2 + y^2} \){

El problema, tengo esta formula para orden 2 en el punto \( (x_o,y_o) \)
\( f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0)
+ f_x(x_0, y_0) \Delta x + f_y(x_0, y_0)  \Delta y
+ \frac{1}{2}f_{xx}(x_0, y_0) \Delta x^2
+ f_{xy}(x_0, y_0) \Delta x  \Delta y
+ \frac{1}{2}f_{yy}(x_0, y_0) \Delta y^2
+ R_2(\Delta x,  \Delta y) \)

y bueno hice las cuentas y en el problema era \( (x_o,y_o)=(0,0) \) me quedo asi:
\( f(\Delta x, \Delta y) = R_2(\Delta x,  \Delta y) \)

Aca la gran pregunta es como remplazo esto en el limite, es decir, si me queda \( f(x,y)=r_2(x,y) \) simplemente remplazo el denominador, pero me quedo \( f(\Delta x, \Delta y) = R_2(\Delta x,  \Delta y) \) debería usar la otra formula de taylor? es decir la que es igual pero con un cambio de variable \( \Delta x=x-x_o \)

Gracias

[ani_pascual]

Hola:

...
es decir la que es igual pero con un cambio de variable \( \Delta x=x-x_o \)
...

Si no me equivoco...
es mejor hacerlo con las funciones de una variable en vez de con la de dos, i.e. \( \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{xy-\left(x-\frac{x^3}{3!}+o(x)\right)\left(y-\frac{y^3}{3!}+o(y)\right)}{x^2+y^2}=\cdots =0 \)
Saludos

[Nub]

Hola:

...
es decir la que es igual pero con un cambio de variable \( \Delta x=x-x_o \)
...

Si no me equivoco...
es mejor hacerlo con las funciones de una variable en vez de con la de dos, i.e. \( \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{xy-\left(x-\frac{x^3}{3!}+o(x)\right)\left(y-\frac{y^3}{3!}+o(y)\right)}{x^2+y^2}=\cdots =0 \)
Saludos

Hola ani_pascual, no se, por algo existe el teorema para varias variables, los restos son diferentes, por ejemplo el resto de orden 2 tiene que ser dividido por la norma de un vector al cuadrado, y en una variable no es la norma de dicho vector al cuadrado.

PD: Esa no era mi pregunta, creo que mi pregunta se puede resolver haciendo el cambio de variable en el mismo limite... creo

[Nub]

En fin, mi solución, no se si esta bien el cambio de variable que hago.
\( \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy - \sin(x)\sin(y)}{x^2 + y^2} \)
Sea \( f(x,y)=xy - sin(x)sin(y) \) calculo el polinimio de taylor de grado \( 2 \) a \( f \)
\( f(0+\Delta x, 0 + \Delta y)=f(\Delta x, \Delta y)=r_2(\Delta x,\Delta y) \)
Entonces ahora hago el cambio de variable \( \Delta x=x-x_0=x \) y \( \Delta y=y-y_0=y \) y queda
\( f(x,y)=r_2(x,y) \), entonces ahora voy al limite y remplazo \( f(x,y)=xy - sin(x)sin(y)=r_2(x,y) \)
\( \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{r_2(x,y)}{x^2 + y^2}=0 \) por teorema de Taylor

O sino era el cambio de variable en el limite
\( \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\Delta x \Delta y - sin(\Delta x)sin(\Delta y)}{\Delta x^2 + \Delta y^2} \) y tengo  \( f(\Delta x,\Delta y)=\Delta x \Delta y - sin(\Delta x)sin(\Delta y)=r_2(\Delta x, \Delta y) \) luego
\( \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{ṛ_2(\Delta x, \Delta y)}{\Delta x^2 + \Delta y^2}=0 \)

¿Esta bien?

[Juan Pablo Sancho]

Otro camino:
Si \( u \in [0,\dfrac{\pi}{2}] \) tenemos \( 0 <\sen(u)<u<\tan(u) \) luego:
\( \tan(u/2) > u/2 \) multiplicamos por \( 2 \cdot \cos^2(u/2)  \) y queda \( 2 \cdot \sen(u/2) \cdot \cos(u/2)= \sen(u) > u \cdot \cos^2(u/2) = u \cdot (1-\sen^2(u/2)) > u \cdot (1-\dfrac{u^2}{4})  \)

Tenemos:
\( u-\dfrac{u^3}{4} < \sen(u) < u \) luego \( 0 < u - \sen(u) < \dfrac{u^3}{4} \)

Finalmente:
\( |x \cdot y - \sen(x) \cdot \sen(y)| = |x \cdot y - x \cdot \sen(y) + x \cdot \sen(y) - \sen(x) \cdot \sen(y)| \leq |x| \cdot |y-\sen(y)| + |\sen(y) | \cdot |x-\sen(x)|  \) y usar la siemetría de las funciones.

[Nub]

Bueno, asumo que está bien lo que hice, gracias