Sea \( A \) un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado \( k \). Supongamos que \( M \subseteq N \) son \( A \)-módulos indecomponibles, y sea \( f : M \to N \) un monomorfismo. ¿Es cierto que \( f \) es necesariamente la inclusión canónica, salvo multiplicación por un escalar? Es decir, ¿existe \( \lambda \in k^\times \) tal que \( f = \lambda \cdot \iota \), donde \( \iota : M \hookrightarrow N \) es la inclusión canónica?
Estoy trabajando en el contexto de un álgebra toupie de tipo de representación finita, y me encontré con esta situación al analizar caminos en el quiver de Auslander–Reiten. Me gustaría entender cuándo un morfismo entre módulos indecomponibles que es un monomorfismo corresponde (esencialmente) a la inclusión.
Agradezco cualquier aclaración o referencia. Es importante aclarar que \( M \) y \( N \) son representaciones indecomponibles, ya que el álgebra \( A \) está asociada a un quiver. Cuando digo que \( M \subseteq N \), me refiero a que los factores de composición de \( M \) aparecen entre los de \( N \).
