[zorropardo]

$$A \cap B= \emptyset   \Leftrightarrow{ A \subset{B^{c}}}$$

(---->)
Como   $$A \cap B= \emptyset  \Rightarrow{ x \in A  \mbox{ y } x \not \in B } \Rightarrow{ x \in A \mbox{ y } x \in B^{c}} \Rightarrow{ x \in (A \cap B^{c})} \Rightarrow{A \subset{B^{c}}}$$

(<-----)

Como $$ A \subset{B^{c}}  \Rightarrow{ x \in A} \Rightarrow{x \in B^{c}}\Rightarrow{ x \not \in B}$$ como $$x \in A$$ y $$x \not \in B , x \not \in(A \cap B).$$ Por tanto  $$A \cap B= \emptyset $$ Esta bien 

[Masacroso]

$$A \cap B= \emptyset   \Leftrightarrow{ A \subset{B^{c}}}$$

(---->)
Como   $$A \cap B= \emptyset  {\color{red}{\Rightarrow}}{ x \in A  \mbox{ y } x \not \in B } \Rightarrow{ x \in A \mbox{ y } x \in B^{c}} \Rightarrow{ x \in (A \cap B^{c})} {\color{red}{\Rightarrow}}{A \subset{B^{c}}}$$

Está mal expresado, y algunas implicaciones no tienen sentido, como las que te marco en rojo. Es mejor que expreses tu demostración con palabras cuando puedas, primero porque queda más claro lo que quieres decir, y segundo porque es un muy buen ejercicio para ver por ti mismo si lo que dices tiene sentido o no, y ver hasta qué punto dónde tienes lagunas (si tú mismo ves que algún paso no está justificado para ti mismo).

Por ejemplo, puedes escribir lo siguiente: partimos de la premisa \( A\cap B=\emptyset  \). Entonces si \( x\in A \) necesariamente \( x\notin B \) (ya que si \( x\in B \) entonces \( A\cap B\neq \emptyset  \), lo cual es imposible por premisa), luego \( x\in B^\complement  \). Como eso se cumple para cualquier \( x \) (cuando \( A\cap B=\emptyset  \)), entonces hemos demostrado que \( A\cap B=\emptyset \implies \big(\forall x:(x\in A\implies x\in B^\complement )\big) \), que es justamente el significado de la expresión \( A\cap B=\emptyset \implies A\subset B^\complement  \). Eso demuestra una dirección, ¿te atreves con la otra utilizando palabras?

[zorropardo]

Hola, podria ser asi:

Sea $$x \in A \cap B \Rightarrow{x \in A }$$ y $$x \in B.$$ Como por hipotesis $$A \subset{ B^{c}},$$ tenemos $$x \in B$$ y $$x \in B^{c}$$ entonces

$$x \in B \cap B^{c}= \emptyset.$$ Por tanto $$A \cap B \subset{\emptyset},$$  y siempre vale $$\emptyset  \subset A \cap B.$$ Luego $$A \cap B=\emptyset.$$ Esta bien 

[ani_pascual]

Hola:

Hola, podria ser asi:

Sea $$x \in A \cap B \Rightarrow{x \in A }$$ y $$x \in B.$$ Como por hipotesis $$A \subset{ B^{c}},$$ tenemos $$x \in B$$ y $$x \in B^{c}$$ entonces

$$x \in B \cap B^{c}= \emptyset.$$ Por tanto $$A \cap B \subset{\emptyset},$$  y siempre vale $$\emptyset  \subset A \cap B.$$ Luego $$A \cap B=\emptyset.$$ Esta bien 

Una vez que has probado que \( x\in B\cap B^c \), como esto es absurdo, se deduce que la premisa inicial, i.e., \( A\cap B\neq \emptyset \) es falsa, por tanto, es \( A\cap B=\emptyset \)
Saludos

[Masacroso]

Hola, podria ser asi:

Sea $$x \in A \cap B {\color{red}{\Rightarrow}}{x \in A }$$ y $$x \in B.$$ Como por hipotesis $$A \subset{ B^{c}},$$ tenemos $$x \in B$$ y $$x \in B^{c}$$ entonces

$$x \in B \cap B^{c}= \emptyset.$$ Por tanto $$A \cap B \subset{\emptyset},$$  y siempre vale $$\emptyset  \subset A \cap B.$$ Luego $$A \cap B=\emptyset.$$ Esta bien 

Lo veo bien, sí. Quizá yo en vez de usar el símbolo que te marco en rojo hubiese dicho "entonces", porque sino queda una mezcla extraña de símbolos y palabras. También se podría decir así:

-Si \( x\in A\cap B \) entonces, por definición de intersección de conjuntos, eso es equivalente a decir que \( x\in A \) y \( x\in B \). Entonces si tomamos como premisa que \( A\subset B^\complement  \) tenemos que \( x\in B^\complement  \) también, luego \( x\in B \) y \( x\in B^\complement  \), o lo que es lo mismo, \( x\in B\cap B^\complement  \). Finalmente, como \( B\cap B^\complement =\emptyset  \) y es imposible que \( x\in \emptyset  \) para cualquier \( x \) que tomemos (por definición de conjunto vacío), entonces concluimos que no puede existir un \( x \) tal que \( x\in A\cap B \), que es equivalente a decir que \( A\cap B=\emptyset  \).

-Ordenando todo, tenemos que de la premisa \( A\subset B^\complement  \) se sigue que \( A\cap B=\emptyset  \), que es lo que queríamos demostrar.


Otra forma de hacer la demostración, utilizando sólo símbolos, sería la siguiente. Conociendo algo de lógica podemos utilizar las siguientes identidades (en lo siguiente, \( P \) y \( Q \) son proposiciones arbitrarias y \( x \) una variable):

1) \( \nexists x:P(x):\!\!\iff  \lnot (\exists x:P(x)) \), es decir, la primera cadena de símbolos significa lo mismo que la segunda, por definición.
2) \( \lnot (\exists x:P(x))\iff (\forall x:\lnot P(x)) \) es una tautología.
3) \( \lnot (P(x)\,\lor\, Q(x))\iff ((\lnot P(x)) \,\land\, (\lnot Q(x))) \) es otra tautología.
3) \( (\lnot P(x)\,\lor\, Q(x))\iff (P(x)\implies Q(x)) \) es otra tautología (o equivalencia por definición, según se mire).

Entonces la demostración sería así:

\[
\begin{align*}
A\cap B=\emptyset &\iff \nexists x: x\in A\cap B\\
&\iff \nexists x: x\in A \,\land\, x\in B\\
&\iff \lnot (\exists x:x\in A\,\land\, x\in B)\\
&\iff \forall x:x\notin A \,\lor\, x\notin B\\
&\iff \forall x: x\in A\implies x\notin B\\
&\iff \forall x:x\in A\implies x\in B^\complement \\
&\iff A\subset B^\complement
\end{align*}
\]

∎

[zorropardo]

Muy bien , gracias por las respuestas.