Sea \( L = \mathbb{Q}(\sqrt{3 + \sqrt{2}}, i) \). Estudia si \( \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3}) \)es un cuerpo intermedio de la extension \(\mathbb{Q}(\sqrt{3 + \sqrt{2}}, i)/Q \)
Hola estoy haciendo este ejercicio y me he quedado atascada. Diría que no es un cuerpo intermedio pero no se como demostrarlo sin hacer un sistema de ecuaciones utilizando la base calculada anteriormente en otro apartado del ejercicio. Si alguien sabe como se puede resolver de alguna manera más sencilla, sin tantos cálculos me sería de gran ayuda.
El cuerpo \( \mathbb Q(\sqrt{3 + \sqrt{2}}) \) tiene grado 4 sobre \( \mathbb Q \), y está contenido en \( \mathbb R \), luego no contiene a \( i \), luego \( L \) tiene grado 8 sobre \( \mathbb Q \).
Si contuviera a \( \mathbb Q(\sqrt[4]3) \), también contendría a \( \mathbb Q(\sqrt[4]3, i) \), que también tiene grado \( 8 \) sobre \( \mathbb Q \), luego tendría que ser \( L = \mathbb Q(\sqrt[4]3, i) \).
Vamos a ver que esto es imposible.
El polinomio \( x^4-3 \) tiene dos raíces reales y dos imaginarias. Por lo tanto, tiene dos raíces en \( \mathbb Q(\sqrt[4]3) \), pero no las cuatro. Esto significa que \( \mathbb Q(\sqrt[4]3) \) no es una extensión normal de \( \mathbb Q \). En cambio, \( \mathbb Q(\sqrt[4]3, i) \) sí que es una extensión de Galois de \( \mathbb Q \), porque es el cuerpo de escisión de \( x^4-3 \) (ya que las raíces de este polinomio son \( \pm \sqrt[4]3, \pm i\sqrt[4]3 \)).
Por lo tanto, el grupo de Galois de \( \mathbb Q(\sqrt[4]3, i) \) tiene que tener al menos un subgrupo no normal (el que corresponde a \( \mathbb Q(\sqrt[4]3) \)).
En particular, el grupo de Galois no puede ser abeliano, y todo grupo de orden 8 no abeliano es isomorfo al grupo diédrico \( D_4 \) o al grupo cuaternio \( Q_8 \), pero éste tiene todos sus subgrupos normales. Por lo tanto, tiene que ser \( D_4 \).
Pero el grupo \( D_4 \) tiene exactamente tres subgrupos de índice \( 2 \), luego el cuerpo \( \mathbb Q(\sqrt[4]3, i) \) tiene que tener exactamente tres subcuerpos de grado 2 sobre \( \mathbb Q \).
Ahora bien, si se diera la igualdad anterior tendría cuatro, a saber, \( \mathbb Q(i) \), \( \mathbb Q(\sqrt 3) \), \( \mathbb Q(i\sqrt 3) \), \( \mathbb Q(\sqrt 2) \), y tenemos una contradicción.
