[anartesi]

Buenos días, tengo este ejercicio que supongo es sencillito:

Probar que en R con la topología usual, 0 es el único punto de acumulación del
conjunto $$ A = \left\{{\displaystyle\frac{1}{n},  n \in{} \mathbb{N}}\right\}$$

A mi se me ocurre esto:

Sea el entorno $$(0-\epsilon, 0+\epsilon)$$, $$\epsilon\in{\mathbb{R}}$$ y $$\epsilon>0$$
y sea $$\displaystyle\frac{1}{n+1}<\epsilon<\displaystyle\frac{1}{n}$$ , $$\forall{n}\in{N}$$, entonces

$$(0-\epsilon,0+\epsilon)$$\$$\left\{{0}\right\}\cap{A}\neq\emptyset$$, por lo tanto $$0$$ es punto de acmulación.

Ahora, para decir que es el único punto de acumulación ¿estaría bien esto?

$$A\subseteq{(0,1]}$$
si $$x=\displaystyle\frac{1}{n}$$,  $$\forall{n}\in{\mathbb{N}}$$ y defino un entorno de $$x$$, con $$\epsilon>0$$, $$\epsilon\in{\mathbb{R}}$$ y $$\epsilon<\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1}$$ entonces
$$(\displaystyle\frac{1}{n}-\epsilon,\displaystyle\frac{1}{n}+\epsilon)$$ \ $$\left\{{\displaystyle\frac{1}{n}}\right\}\cap{A}=\emptyset$$
¿solamente el $$0$$ sería punto de acumulación, $$\forall{n}\in{\mathbb{N}}$$?

Gracias,

[ani_pascual]

Hola:

...

Ahora, para decir que es el único punto de acumulación ¿estaría bien esto?

$$A\subseteq{(0,1]}$$
si $$x=\displaystyle\frac{1}{n}$$,  $$\forall{n}\in{\mathbb{N}}$$ y defino un entorno de $$x$$, con $$\epsilon>0$$, $$\epsilon\in{\mathbb{R}}$$ y $$\epsilon<\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1}$$ entonces
$$(\displaystyle\frac{1}{n}-\epsilon,\displaystyle\frac{1}{n}+\epsilon)$$ \ $$\left\{{\displaystyle\frac{1}{n}}\right\}\cap{A}=\emptyset$$
¿solamente el $$0$$ sería punto de acumulación, $$\forall{n}\in{\mathbb{N}}$$?
...

Podrías proceder por reducción al absurdo, suponiendo que existe un punto de acumulación \( b \) de \( A \) diferente de \( 0 \) y distingues dos casos análogos, uno \( b>0 \) y otro \( b<0 \) y supongo que no tendrás problemas en llegar a una contradicción encontrando un entorno reducido de \( b \) que no contiene elementos de \( A \), contradiciendo la hipótesis.
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
Hola, no entiendo por qué $$b$$ debería ser menor que $$0$$ ...

A ver.., es claro que ese caso es evidentemente descartable, pero lo he puesto para ser exhaustivo. Si se parte de \( b\neq 0 \), en principio, puede ser positivo o negativo, si bien el caso negativo se descarta ya que todos los elementos de \( A \) son estrictamente positivos.
Saludos

[anartesi]

A ver.., es claro que ese caso es evidentemente descartable, pero lo he puesto para ser exhaustivo. Si se parte de \( b\neq 0 \), en principio, puede ser positivo o negativo, si bien el caso negativo se descarta ya que todos los elementos de \( A \) son estrictamente positivos.
Saludos

Está bien, voy entendiendo de a poco .. voy a tratar de hacerlo así ...gracias

[Masacroso]

ok, pero eso no sería suficiente entonces? no entendí ... prefiero no usar la contradicción si puedo evitarla ...

Cuando tienes que demostrar que una proposición de la forma \(\forall x:P(x)\) es falsa suele ser más sencillo demostrar que \(\exists x:\lnot P(x)\) es cierta, y en la lógica que se utiliza usualmente en matemáticas demostrar ambas cosas es equivalente.

[ani_pascual]

Hola:

...
Debería suponer entonces,  que todos los puntos de $$A$$ son de acumulación y elegir algún $$x$$ en $$A$$, ver que no es de acumulación y concluir que no todos los puntos de $$A$$ son de acumulación … creo que puedo con eso … gracias

Tienes que partir, como te digo, de un punto de acumulación \( b\neq 0 \) de \( A \) y deducir que no puede serlo. Este \( b \) tampoco puede ser un elemento de \( A \) ya que esos no son de acumulación. Obssrva que  dado \( \dfrac{1}{n}\in A \) se tiene, por ejemplo, que \( \left[\left(\dfrac{1}{n+1},\dfrac{1}{n-1}\right)\setminus\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\right]\cap A=\emptyset \). En definitiva, el único punto de acumulación de \( A \) es \( 0 \).
Saludos

[Masacroso]

Debería suponer entonces,  que todos los puntos de $$A$$ son de acumulación y elegir algún $$x$$ en $$A$$, ver que no es de acumulación y concluir que no todos los puntos de $$A$$ son de acumulación … creo que puedo con eso … gracias

No me refería a eso, es que resulta que en este ejercicio es más fácil demostrar que la proposición \( \forall x:P(x) \) es cierta, que demostrar que su equivalente lógico \( \exists x:\lnot P(x) \) es falso para

\[
P(x)\equiv x\notin 0\implies x\notin \overline{A}
\]

Lo que quería decir es que muchas veces es más fácil demostrar que la negación lógica de una proposición tiene un determinado valor de verdad, que demostrar directamente que la proposición original tiene un determinado valor de verdad.

Creo que al final te habré confundido más de lo que estabas, si es así te ruego que ignores mis dos intervenciones en este tema.