[Julio_fmat]

Se define la siguiente relación \( R \) en \( \mathbb{R}\setminus \{0\} \):

\( (x,y)\in R \iff x+\dfrac{1}{x}=y+\dfrac{1}{y} \).

Demostrar que esta relación es de equivalencia y hallar las respectivas clases de equivalencia.

[ani_pascual]

Hola:

Se define la siguiente relación \( R \) en \( \mathbb{R}\setminus \{0\} \):

\( (x,y)\in R \iff x+\dfrac{1}{x}=y+\dfrac{1}{y} \).

Demostrar que esta relación es de equivalencia y hallar las respectivas clases de equivalencia.

Observa que solo tienes que aplicar el hecho de que la igualdad es una relación de equivalencia. Por otra parte...

Spoiler

… dados \( x,y\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \) tales que \( xRy \) se tiene que \( x+\dfrac{1}{x}=y+\dfrac{1}{y} \) luego \( x-y=\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-y}{xy}\Longrightarrow (x-y)\left(1-\dfrac{1}{xy}\right)=0\Longrightarrow x=y \) o bien \( xy=1 \). En definitiva, la clase de equivalencia del elemento \( x \) es \( \bar{x}=[x]=\left\{x,\dfrac{1}{x}\right\} \)

[cerrar]

Saludos