Hola
Este es el código:
a=(1: 1: 100);
t=cos(a-1i).^(2);
t2=2.^(a*1i)+1/2;
c=(abs((cumsum(t))))./a;
c2=(abs((cumsum(t2))))./a;
Equivale a
\( c_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n cos^2(k-i) \)
y lo que dices es que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}c_n=1/2 \)
Ten en cuenta que:
\( cos^2(k-i)=\left(\dfrac{e^{i(k-i)}+e^{-i(k-i)}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}(e^2(e^{2ki}+e^{-2ki})+2)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{e^2}{4}(e^{2ki}+e^{-2ki}) \)
Entonces:
\( c_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n cos^2(k-i)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{e^2}{4n}\displaystyle\sum_{k=1}^n(e^{2i})^k+(e^{-2i})^k \)
Ahora los términos de la sumatoria son progresiones geométricas. Se puede hallar la suma:
\( \dfrac{1}{2}+\dfrac{e^2}{4n}\underbrace{\left(\dfrac{e^{2i(n+1)}-e^{2i}}{e^{2i}-1}+\dfrac{e^{-2i(n+1)}-e^{-2i}}{e^{-2i}-1}\right)}_{\text{acotado}} \)
Lo relevante es que lo marcado está acotado y su límite por tanto al dividir por \( n \) es cero. Así se concluye que:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}c_n=\dfrac{1}{2} \)
Saludos.
