[petras]

En un trapezoide \( ABCD, C1, C2, C3 \) y \( C4 \) son los centros de gravedad de las regiones triangulares \( ABD, ABC, BCD \) y \( ACD \). El perímetro del cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de los lados del trapezoide es \( 36m \). Calcular el perímetro del cuadrilátero que se forma al unir los
puntos medios del cuadrilátero \( C1, C2, C3 \) y \( C4 \).

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Gabarito: 12m

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[petras]

Algunas reflexiones
T.Varignon:
\( S_{MNOP} =\frac{C_1C_2C_3C_4}{2}\\
S_{M_1M_2M_3M_4} = \frac{S_{ABCD}}{2}\\
MN=PO\\PM=NO\\
\therefore 2p_{MNPO} =2(MN+PM)=C_2C_4+C_1C_3 \\
AC+BD = 36 \)

[Pie]

En un trapezoide \( ABCD, C1, C2, C3 \) y \( C4 \) son los centros de gravedad de las regiones triangulares \( ABD, ABC, BCD \) y \( ACD \). El perímetro del cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de los lados del trapezoide es \( 36m \). Calcular el perímetro del cuadrilátero que se forma al unir los
puntos medios del cuadrilátero \( C1, C2, C3 \) y \( C4 \).

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Gabarito: 12m

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Dejo una idea que diría que está bien, faltaria completar un poco los detalles..

Spoiler

El cuadrilátero \( C_1C_2C_3C_4 \) es semejante a \( ABCD \) a razón de \( 1:3 \), ya que por las propiedades de los baricentros se tiene:

\[ \triangle{C_2M_2C_3} \sim \triangle{AM_2D} \Longrightarrow 3C_2C_3 = AB \]

\[ \triangle{C_1M_1C_2} \sim \triangle{DM_1C} \Longrightarrow 3C_1C_2 = DC \]

\[ \ldots \]

Por tanto los cuadriláteros formados por los puntos medios de los anteriores también deben ser semejantes en igual proporción, de donde:

\[ P_{PMNO} = 36/3 = 12 \]

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Saludos.