[petras]

Dado un cuadrilátero convexo \( ABCD \), sobre los lados se toman los puntos\(  M, N, P, Q \), tales que \( M \) está sobre el lado\(  AB \), \( N \) está sobre el lado \( BC \), \( P \) está sobre el lado \( CD \) y \( Q \) está sobre el lado \( DA \), con \( AM = 2MB \) y \( BN = 2NC \). Se repite esta construcción sobre el cuadrilátero \( MNPQ \), formando un tercer cuadrilátero de perímetro \( p \). Si el perímetro del cuadrilátero \( ABC \)D es \( 72 m \), ¿qué valor puede tomar \(  p \)

\( A) 24m, B), 18m, C)12m, D) 9m, E) \) Todas las anteriores:

Spoiler

Gabarito: E)

[cerrar]

Intenté usar la propiedad de la desigualdad, pero no logro encontrar que 24 es un valor posible."

\( 2a-d < E < 2a+d\\
2d-c < F < 2d+c\\
2c-b < G < 2c+b\\
2b-a < R < 2b+a\\
a+b+c+d  < p <3(a+b+c+d) (i)\\
2z-y < 3a < 2z+y\\
2y-x < 3b<2y+x\\
2x-w <3c < 2x+w\\
2w-z<3d < 2w+z\\
z+y+w+x < 3(a+b+c+d) < 3(x+y+z+w)\\
24 < 3(a+b+c+d) < 72 \implies 8 < a+b+c+d<24(ii)\\
(i)e(II): 8 < p < 3(a+b+c+d) < 24 \)

[petras]

Tuve esta solución creativa. Dado que ABCD es un cuadrilátero convexo sin ninguna otra restricción, podemos elegir como ABCD el cuadrado de lado 18. De esta manera, el primer lado del cuadrilátero MNPQ es \( s1=\sqrt{6^2+12^2} =6\sqrt5 \) y el segundo lado del cuadrilátero uvwz es \( s2=\sqrt{(2\sqrt5)^2+(4\sqrt5)^2}=10 \). Por lo tanto, su perímetro p es \( 40 \).

Es posible que cada uno de los números dados \( 24, 18, 12,  \)9 también sean soluciones

[petras]

Dado un cuadrilátero convexo \( ABCD \), sobre los lados se toman los puntos\(  M, N, P, Q \), tales que \( M \) está sobre el lado\(  AB \), \( N \) está sobre el lado \( BC \), \( P \) está sobre el lado \( CD \) y \( Q \) está sobre el lado \( DA \), con \( AM = 2MB \) y \( BN = 2NC \). Se repite esta construcción sobre el cuadrilátero \( MNPQ \), formando un tercer cuadrilátero de perímetro \( p \). Si el perímetro del cuadrilátero \( ABC \)D es \( 72 m \), ¿qué valor puede tomar \(  p \)

\( A) 24m, B), 18m, C)12m, D) 9m, E) \) Todas las anteriores:

Spoiler

Gabarito: E)

[cerrar]

Intenté usar la propiedad de la desigualdad, pero no logro encontrar que 24 es un valor posible."

\( 2a-d < E < 2a+d\\
2d-c < F < 2d+c\\
2c-b < G < 2c+b\\
2b-a < R < 2b+a\\
a+b+c+d  < p <3(a+b+c+d) (i)\\
2z-y < 3a < 2z+y\\
2y-x < 3b<2y+x\\
2x-w <3c < 2x+w\\
2w-z<3d < 2w+z\\
z+y+w+x < 3(a+b+c+d) < 3(x+y+z+w)\\
24 < 3(a+b+c+d) < 72 \implies 8 < a+b+c+d<24(ii)\\
(i)e(II): 8 < p < 3(a+b+c+d) < 24 \)

Creo que mi error fue en el análisis final...
(i)e(ii):\( 8<p<3(a+b+c+d)<24 \)  deveria ser (i)e(ii):\( 8<p<3(a+b+c+d)<\color{red}72 \)  mas como \( 3(a+b+c+d) > 24 \) entonces se concluye que: \( 8 < p \leq 24 \)