[petras]

Las diagonales de un trapezoide simétrico se intersecan en el punto O tal que \( OC = 3AO \).
Se trazan las perpendiculares \( AP, BQ, CR \) y \( DS \) hasta una recta exterior tal que:
\( 2BQ + 2DS - CR = 12 \). Calcular \( AP \).

[ani_pascual]

Hola:

Las diagonales de un trapezoide simétrico se intersecan en el punto O tal que \( OC = 3AO \).
Se trazan las perpendiculares \( AP, BQ, CR \) y \( DS \) hasta una recta exterior tal que:
\( 2BQ + 2DS - CR = 12 \). Calcular \( AP \).
...

Una forma...

Spoiler

Trazando desde \( O \) una perpendicular a la recta exterior hasta \( T \) y prolongando \( OA \) hasta \( U \), se tiene
\( OT=\dfrac{BQ+DS}{2} \) y como es \( BQ+DS=\dfrac{CR+12}{2} \) se deduce que \( OT=\dfrac{CR+12}{4}\,\,\,\,(\ast) \).
Por otra parte, llamando \( \alpha=\widehat{RCO}=\widehat{TOU}=\widehat{PAU} \) es
\( \cos\alpha=\dfrac{AP}{AU}=\dfrac{CR}{4AO+AU}=\dfrac{OT}{AO+AU}\Longrightarrow \dfrac{OT-AP}{AO}=\dfrac{CR-AP}{4AO}\Longrightarrow OT=\dfrac{CR+3AP}{4} \) e igualando a la expresión \( (\ast) \) se concluye que \( CR+12=CR+3AP\Longrightarrow \boxed{AP=4} \)

[cerrar]

Saludos

[petras]

Hola:

Las diagonales de un trapezoide simétrico se intersecan en el punto O tal que \( OC = 3AO \).
Se trazan las perpendiculares \( AP, BQ, CR \) y \( DS \) hasta una recta exterior tal que:
\( 2BQ + 2DS - CR = 12 \). Calcular \( AP \).
...

Una forma...

Spoiler

Trazando desde \( O \) una perpendicular a la recta exterior hasta \( T \) y prolongando \( OA \) hasta \( U \), se tiene
\( OT=\dfrac{BQ+DS}{2} \) y como es \( BQ+DS=\dfrac{CR+12}{2} \) se deduce que \( OT=\dfrac{CR+12}{4}\,\,\,\,(\ast) \).
Por otra parte, llamando \( \alpha=\widehat{RCO}=\widehat{TOU}=\widehat{PAU} \) es
\( \cos\alpha=\dfrac{AP}{AU}=\dfrac{CR}{4AO+AU}=\dfrac{OT}{AO+AU}\Longrightarrow \dfrac{OT-AP}{AO}=\dfrac{CR-AP}{4AO}\Longrightarrow OT=\dfrac{CR+3AP}{4} \) e igualando a la expresión \( (\ast) \) se concluye que \( CR+12=CR+3AP\Longrightarrow \boxed{AP=4} \)

[cerrar]

Saludos

¡Excelente como siempre!

Agradecido

Saludos