[petras]

En un rombo \( ABCD  \) donde \( AC = 4m \) y \(  BD = 20m \), traza las perpendiculares exteriores \( BE \) y \( BF \) a los lados \( BC \) y \( BA \) respectivamente, donde \( BE = BF = AB \).
Calcula el tamaño de los segmentos que unen los baricentros de los triángulos \( ABF \) y \( BCE \).

Spoiler

Gabarito: 8m

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[ani_pascual]

Hola:

En un rombo \( ABCD  \) donde \( AC = 4m \) y \(  BD = 20m \), traza las perpendiculares exteriores \( BE \) y \( BF \) a los lados \( BC \) y \( BA \) respectivamente, donde \( BE = BF = AB \).
Calcula el tamaño de los segmentos que unen los baricentros de los triángulos \( ABF \) y \( BCE \).

Spoiler

Gabarito: 8m

[cerrar]

Una forma no muy elegante...

Spoiler

Por Pitágoras se halla \( AB=BC=\sqrt{10^2+2^2}=2\sqrt{26} \). De nuevo por Pitágoras, se calcula \( AK=CU=\sqrt{(2\sqrt{26})^2+\left(\dfrac{2\sqrt{26}}{2}\right)^2}=\sqrt{5\cdot 26} \). Como el ángulo \( \widehat{WCH}=\widehat{ZAG}=\gamma=\arctan \left(\dfrac{1}{2}\right)-\arctan \left(\dfrac{1}{5}\right) \) y se tiene que \( CH=\dfrac{2}{3}CU \) y \( AG=\dfrac{2}{3}AK \) se deduce que \( WH=CH\sin\gamma \) y análogamente \( GZ=AG\sin\gamma \). Tras hacer cálculos...\( WH=GZ=2 \) con lo que \( GH=2+4+2=\boxed{8} \)

[cerrar]

Saludos

[petras]

Hola:

En un rombo \( ABCD  \) donde \( AC = 4m \) y \(  BD = 20m \), traza las perpendiculares exteriores \( BE \) y \( BF \) a los lados \( BC \) y \( BA \) respectivamente, donde \( BE = BF = AB \).
Calcula el tamaño de los segmentos que unen los baricentros de los triángulos \( ABF \) y \( BCE \).

Spoiler

Gabarito: 8m

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Una forma no muy elegante...

Spoiler

Por Pitágoras se halla \( AB=BC=\sqrt{10^2+2^2}=2\sqrt{26} \). De nuevo por Pitágoras, se calcula \( AK=CU=\sqrt{(2\sqrt{26})^2+\left(\dfrac{2\sqrt{26}}{2}\right)^2}=\sqrt{5\cdot 26} \). Como el ángulo \( \widehat{WCH}=\widehat{ZAG}=\gamma=\arctan \left(\dfrac{1}{2}\right)-\arctan \left(\dfrac{1}{5}\right) \) y se tiene que \( CH=\dfrac{2}{3}CU \) y \( AG=\dfrac{2}{3}AK \) se deduce que \( WH=CH\sin\gamma \) y análogamente \( GZ=AG\sin\gamma \). Tras hacer cálculos...\( WH=GZ=2 \) con lo que \( GH=2+4+2=\boxed{8} \)

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Saludos

Agradecido
Saludos

[Pie]

Otra forma:

Spoiler

El triángulo \( \triangle{EBF}  \) es congruente con \( \triangle{DAB} \) y \( \triangle{BCD} \), ya que \( \widehat{EBF} = 360^o - (180^o + \widehat{ABC}) = 180^o - \widehat{ABC} = \widehat{DAB} =\widehat{BCD} \) (y los lados adyacentes son iguales).

Por tanto tenemos que \[ FE = 20  \], y por ser \( L \) y \( M \) puntos medios \( LM = AC/2 = 2 \). Finalmente, como \( FL = 3GL \):

\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM) \Longrightarrow{} \]

\[ 9 = \frac{3}{2}(GH - 2) \Longrightarrow{} GH = 8 \]

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Saludos.

[petras]

Otra forma:

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El triángulo \( \triangle{EBF}  \) es congruente con \( \triangle{DAB} \) y \( \triangle{BCD} \), ya que \( \widehat{EBF} = 360^o - (180^o + \widehat{ABC}) = 180^o - \widehat{ABC} = \widehat{DAB} =\widehat{BCD} \) (y los lados adyacentes son iguales).

Por tanto tenemos que \[ FE = 20  \], y por ser \( L \) y \( M \) puntos medios \( LM = AC/2 = 2 \). Finalmente, como \( FL = 3GL \):

\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM) \Longrightarrow{} \]

\[ 9 = \frac{3}{2}(GH - 2) \Longrightarrow{} GH = 8 \]

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Saludos.

Agradecido

Saludos

[petras]

Otra forma:

Spoiler

El triángulo \( \triangle{EBF}  \) es congruente con \( \triangle{DAB} \) y \( \triangle{BCD} \), ya que \( \widehat{EBF} = 360^o - (180^o + \widehat{ABC}) = 180^o - \widehat{ABC} = \widehat{DAB} =\widehat{BCD} \) (y los lados adyacentes son iguales).

Por tanto tenemos que \[ FE = 20  \], y por ser \( L \) y \( M \) puntos medios \( LM = AC/2 = 2 \). Finalmente, como \( FL = 3GL \):

\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM) \Longrightarrow{} \]

\[ 9 = \frac{3}{2}(GH - 2) \Longrightarrow{} GH = 8 \]

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Saludos.

¿Puedes aclarar esta parte?\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM)  \]

[Pie]

Otra forma:

Spoiler

El triángulo \( \triangle{EBF}  \) es congruente con \( \triangle{DAB} \) y \( \triangle{BCD} \), ya que \( \widehat{EBF} = 360^o - (180^o + \widehat{ABC}) = 180^o - \widehat{ABC} = \widehat{DAB} =\widehat{BCD} \) (y los lados adyacentes son iguales).

Por tanto tenemos que \[ FE = 20  \], y por ser \( L \) y \( M \) puntos medios \( LM = AC/2 = 2 \). Finalmente, como \( FL = 3GL \):

\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM) \Longrightarrow{} \]

\[ 9 = \frac{3}{2}(GH - 2) \Longrightarrow{} GH = 8 \]

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Saludos.

¿Puedes aclarar esta parte?\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM)  \]

Igual con un dibujo se ve mejor, pongo solo una parte porque si no queda demasiado recargado:



\[ FR = \displaystyle\frac{1}{2}(FE - LM)  \]

\[ GS = \displaystyle\frac{1}{2}(GH - LM)  \]

Y como \( FL = 3GL \) la razón de semejanza entre \( \triangle{FLR} \) y \( \triangle{GLS} \) es de \( 3:1 \), de donde:

\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM)  \]

Saludos.

[petras]

Otra forma:

Spoiler

El triángulo \( \triangle{EBF}  \) es congruente con \( \triangle{DAB} \) y \( \triangle{BCD} \), ya que \( \widehat{EBF} = 360^o - (180^o + \widehat{ABC}) = 180^o - \widehat{ABC} = \widehat{DAB} =\widehat{BCD} \) (y los lados adyacentes son iguales).

Por tanto tenemos que \[ FE = 20  \], y por ser \( L \) y \( M \) puntos medios \( LM = AC/2 = 2 \). Finalmente, como \( FL = 3GL \):

\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM) \Longrightarrow{} \]

\[ 9 = \frac{3}{2}(GH - 2) \Longrightarrow{} GH = 8 \]

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Saludos.

¿Puedes aclarar esta parte?\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM)  \]

Igual con un dibujo se ve mejor, pongo solo una parte porque si no queda demasiado recargado:



\[ FR = \displaystyle\frac{1}{2}(FE - LM)  \]

\[ GS = \displaystyle\frac{1}{2}(GH - LM)  \]

Y como \( FL = 3GL \) la razón de semejanza entre \( \triangle{FLR} \) y \( \triangle{GLS} \) es de \( 3:1 \), de donde:

\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM)  \]

Saludos.

Entendido
Agradecido
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
¿Puedes aclarar esta parte?\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM)  \]

Otra forma de verlo es aplicando el teorema de Tales de la siguiente forma:

\( \dfrac{OC}{CC'}=\dfrac{OB}{BB'}=\dfrac{OA}{AA'}=\dfrac{OC-OA}{CC'-AA'}=\dfrac{OB-OA}{BB'-AA'} \) de tal manera que en en este caso queda \( \dfrac{FL}{FE-LM}=\dfrac{GL}{GH-LM}\Longleftrightarrow \dfrac{3GL}{20-2}=\dfrac{GL}{GH-2}\Longrightarrow \boxed{GH=8} \)

Otra forma:

Spoiler

El triángulo \( \triangle{EBF}  \) es congruente con \( \triangle{DAB} \) y \( \triangle{BCD} \), ya que \( \widehat{EBF} = 360^o - (180^o + \widehat{ABC}) = 180^o - \widehat{ABC} = \widehat{DAB} =\widehat{BCD} \) (y los lados adyacentes son iguales).

Por tanto tenemos que \[ FE = 20  \], y por ser \( L \) y \( M \) puntos medios \( LM = AC/2 = 2 \). Finalmente, como \( FL = 3GL \):

\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM) \Longrightarrow{} \]

\[ 9 = \frac{3}{2}(GH - 2) \Longrightarrow{} GH = 8 \]

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...

Chapeau!
Saludos

[petras]

Hola:

...
¿Puedes aclarar esta parte?\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM)  \]

Otra forma de verlo es aplicando el teorema de Tales de la siguiente forma:

\( \dfrac{OC}{CC'}=\dfrac{OB}{BB'}=\dfrac{OA}{AA'}=\dfrac{OC-OA}{CC'-AA'}=\dfrac{OB-OA}{BB'-AA'} \) de tal manera que en en este caso queda \( \dfrac{FL}{FE-LM}=\dfrac{GL}{GH-LM}\Longleftrightarrow \dfrac{3GL}{20-2}=\dfrac{GL}{GH-2}\Longrightarrow \boxed{GH=8} \)

Otra forma:

Spoiler

El triángulo \( \triangle{EBF}  \) es congruente con \( \triangle{DAB} \) y \( \triangle{BCD} \), ya que \( \widehat{EBF} = 360^o - (180^o + \widehat{ABC}) = 180^o - \widehat{ABC} = \widehat{DAB} =\widehat{BCD} \) (y los lados adyacentes son iguales).

Por tanto tenemos que \[ FE = 20  \], y por ser \( L \) y \( M \) puntos medios \( LM = AC/2 = 2 \). Finalmente, como \( FL = 3GL \):

\[ \frac{1}{2}(FE-LM)= \frac{3}{2}(GH-LM) \Longrightarrow{} \]

\[ 9 = \frac{3}{2}(GH - 2) \Longrightarrow{} GH = 8 \]

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Chapeau!
Saludos

 
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