Chicos el teorema de la deducción es basicamente que si existe una demostración de \( \{\Gamma,\alpha\}\vdash_{\mathcal{H}}\beta \) entonces \( \Gamma\vdash_{\mathcal{H}}\alpha\rightarrow\beta \), vi una demostración de este teorema y usan por inducción matemática sobre lo números de pasos en la demostración(no si conozcan otra demostración), pero viendo la demostración del principio de inducción matemática, se utiliza el método reducción al absurdo, y el método reducción al absurdo se demuestra a través del teorema de la deducción, me parece algo circular en eso, no se que opinan ustedes chicos. 
Sobre esto se puede filosofar mucho (y se ha filosofado mucho en este foro). Lo que planteas lo podríamos llamar la paradoja del formalismo radical, que consiste en que si uno es formalista radical, concluye como tú lo has hecho que ningún razonamiento matemático es válido, porque todos parten de círculos viciosos como el que planteas. La solución es no ser formalista radical.
Para explicar la idea voy a considerar primero un caso más simple que el principio de inducción. Considera la afirmación \( 2+2 = 4 \). Uno puede definir la teoría de conjuntos ZF, construir en ella los números naturales, definir la suma de números naturales y acabar demostrando que \( 2+2=4 \). Ese proceso no es nada trivial. No es evidente a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos cómo pueden definirse los números naturales, ni cómo puede definirse la suma de números naturales, etc. Sin embargo, todo eso es lo que hay que hacer para que podamos considerar a \( 2+2=4 \) como un teorema matemático en el sentido moderno de la palabra.
Ahora bien, sería ingenuo, por no decir ridículo, que alguien estudiara todo ese proceso y al final dijera: ¡Por fin! Desde niño que tenía la inquietud de saber por qué \( 2+2=4 \) y finalmente ya sé la respuesta. De hecho, ahora soy uno de los relativamente pocos seres humanos que saben justificar que \( 2+2=4 \), ya que esto queda fuera del alcance de todos los que no saben lo que es ZF.
No. Eso no es así. Un niño de seis años bien educado no sabe nada de ZF, pero tiene un conocimiento pleno, en el sentido de completamente fundado, de por qué \( 2+2 = 4 \).
Una demostración en \( ZF \) de que \( 2+2=4 \) no le demuestra a nadie que \( 2+2=4 \), pues es imposible que alguien que no sepa ya que \( 2+2=4 \) esté en condiciones de entender una demostración en ZF de que \( 2+2=4 \).
¿Entonces demostrar en ZF que \( 2+2=4 \) es un engaño o una pérdida de tiempo? No. Que \( 2+2=4 \) es algo trivial que saben hasta los niños de seis años, pero la demostración en ZF de que \( 2+2=4 \) es un resultado matemático no trivial y de gran valor. Pero no es la demostración de que \( 2+2=4 \). Es la demostración de que en ZF se puede demostrar que \( 2+2=4 \). Éste es un hecho de gran interés matemático. Bueno, lo que tiene gran interés es saber que en ZF se pueden demostrar todos los resultados elementales sobre los números naturales, uno de los cuales es \( 2+2=4 \).
Pues con el principio de inducción sucede lo mismo. No hay que confundir el hecho de que el principio de inducción es una forma válida de razonar con los números naturales con el hecho de que el principio de inducción es demostrable en ZF.
Como bien observas, para estar en condiciones de razonar formalmente es necesario contar con el teorema de deducción, que es uno de los muchos resultados de la lógica matemática (no el único, ni mucho menos) que se justifica por inducción. Con tales resultados es posible construir la teoría axiomática ZF (que no es sólo dar unos axiomas, sino definir lo que son fórmulas y teoremas, y justificar técnicas de demostración, e incluso justificar que son suficientes para formalizar cualquier razonamiento matemático) y en ZF es posible definir los números naturales y demostrar el principio de inducción igual que se demuestra que \( 2+2=4 \).
Pero pretender que una demostración del principio de inducción en ZF es LA demostración del principio de inducción es tan ingenuo (y, más que ingenuo, contradictorio) como pretender que uno tiene que conocer ZF para entender por qué \( 2+2=4 \).
Una cosa es el principio de inducción y otra distinta el hecho de que el principio de inducción es demostrable formalmente en ZF. Lo primero es previo a la construcción de ZF y lo segundo es posterior.
No recuerdo a quién le oí una forma muy gráfica de expresar esto: no es un círculo, es una espiral.
1) Uno se convence de que el principio de inducción es correcto, igual que uno se convence de que \( 2+2=4 \), para lo cual no hace falta, ni de lejos, ZF ni ninguna teoría axiomática.
2) Uno construye ZF y, tras un largo camino llega, no al mismo punto (cerrando un círculo), sino al mismo punto a otro nivel (ha dado una vuelta de espiral) y demuestra el principio de inducción en ZF.
3) E incluso se puede dar otra vuelta (de espiral), formalizar la lógica en ZF, es decir, definir el concepto de teoría axiomática igual que se define en ZF lo que es un espacio vectorial, o una variedad diferencial, y demostrar en ZF el teorema de deducción usando el principio de inducción demostrado en ZF.
Un formalista radical es alguien que no se cree nada que no pueda demostrar formalmente en ZF. Una cosa es ser formalista (en el sentido de exigir demostraciones formales de todo lo que es formalmente demostrable sin admitir sucedáneos) y otra cosa es ser formalista radical (en el sentido de no admitir ninguna forma de razonamiento que no sea una demostración formal en una teoría axiomática). El problema del formalismo radical es que es contradictorio: cuando un formalista radical intenta estudiar la fundamentación de la matemática, o se suicida (o, al menos, se deprime y considera que su vida no tiene sentido), o tira el libro por la ventana (para vivir así en la felicidad de no meterse en cosas traumáticas y desagradables) o deja de ser formalista radical. No conozco ningún caso de otra alternativa (bueno, sí, está la alternativa de tratar de compatibilizar desesperadamente la cruda realidad con el formalismo radical, pero nunca he conocido a nadie a quien le haya funcionado, con lo que esta alternativa es temporal y termina caducando). Sólo la tercera actitud lleva a entender la fundamentación de la matemática.
Esto sólo es una panorámica de la situación. No digo que nada de lo que he dicho sea evidente y natural, sino que esto es a lo que se llega cuando uno reflexiona sobre la fundamentación de la matemática.
