[BUM]

Ayuda para resolver esta actividad:

7- Dado el sistema
\(
\begin{cases}
x_1 - ax_2 - x_3 + x_4 = b \cr
x_1 + bx_2 + 2x_3 - x_4 = c \cr
-x_1 + cx_2 - 2x_3 + 2x_4 = a \cr
x_1 + x_2 - x_3 - 2x_4 = a+b+c
\end{cases}
 \)

Determinar todos los valores de \( a, b \) y \( c \) para que el sistema tenga como conjunto solución a
\(
S = \left\{\left.\begin{pmatrix} -x_3+1 \cr -2 \cr x_3 \cr 2x_3+1 \end{pmatrix}\right| x_3 \in \mathbb{R} \right\}
 \)
Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[Luis Fuentes]

Hola

7- Dado el sistema
\(
\begin{cases}
x_1 - ax_2 - x_3 + x_4 = b \cr
x_1 + bx_2 + 2x_3 - x_4 = c \cr
-x_1 + cx_2 - 2x_3 + 2x_4 = a \cr
x_1 + x_2 - x_3 - 2x_4 = a+b+c
\end{cases}
 \)

Determinar todos los valores de \( a, b \) y \( c \) para que el sistema tenga como conjunto solución a
\(
S = \left\{\left.\begin{pmatrix} -x_3+1 \cr -2 \cr x_3 \cr 2x_3+1 \end{pmatrix}\right| x_3 \in \mathbb{R} \right\}
 \)

Sustituye la solución en la ecuación \( (x_1,x_2,x_3,x_4)=(-x_3+x_1,-2,x_3,2x_3+1) \).

Te saldrán cuatro ecuaciones con \( x_3,a,b,c \). Cada una de ellas se desdobla en dos separando los coeficientes de \( x_3 \) y el término independiente.

De todas formas no hay valores de \( a,b,c \) para los cuales \( S \) sea solución, porque hay elementos de \( S \) que no cumplen la segunda ecuación.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Ayuda para resolver esta actividad:

7- Dado el sistema
\(
\begin{cases}
x_1 - ax_2 - x_3 + x_4 = b \cr
x_1 + bx_2 + 2x_3 - x_4 = c \cr
-x_1 + cx_2 - 2x_3 + 2x_4 = a \cr
x_1 + x_2 - x_3 - 2x_4 = a+b+c
\end{cases}
 \)

Determinar todos los valores de \( a, b \) y \( c \) para que el sistema tenga como conjunto solución a
\(
S = \left\{\left.\begin{pmatrix} -x_3+1 \cr -2 \cr x_3 \cr 2x_3+1 \end{pmatrix}\right| x_3 \in \mathbb{R} \right\}
 \)
...

Si el espacio de soluciones del sistema \( AX=B \) es \( {\cal S}=\{(-x_3+1,-2,x_3,2x_3+1)\,|\,x_3\in\mathbb{R}\}=(1,-2,0,1)+<(-1,0,1,2)> \), en particular, tomando \( x_3=0 \), resulta que \( X_0=(1,-2,0,1) \) es una solución del sistema y debería verificar
\( AX_0=B\Longleftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr}1&-a&-1&1\\1&b&2&-1\\-1&c&-2&2\\1&1&-1&-2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{r}1\\-2\\0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b\\c\\a\\a+b+c\end{array}\right) \), pero entonces, operando se llega a \( a=\dfrac{-9}{7},b=\dfrac{-4}{7},c=\dfrac{8}{7} \) y no se cumpliría la cuarta igualdad, ya que \( (1,1,-1,-2)\cdot (1,-2,0,1)^t\neq a+b+c \)
Saludos

[Julio_fmat]

Hola BUM.

Mi aporte es que yo lo resolvería cómo lo hizo ani_pascual, o sea, con matrices, aunque igual se puede hacer de la forma convencional, reemplazando una ecuación en la otra y obtener ecuaciones mas simples y despejar las incógnitas en cuestión.

Saludos.