[Nub]

Hola, he visto que \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=2\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \) con \( f(x) \) par

Dem: \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}f(x)dx+\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)

C. variable \( u=-x \) \( = \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(-u)du+\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)
Ahora uso que es par \( = \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(u)du+\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)    (*)
Luego \( = 2 \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)

Tengo dudas en la linea (*) ¿Porque la suma de una integral \( du \) mas otra \( dx \) se puede sumar y da \( = 2 \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)? Pense en quitar el C. Variable pero eso me modificaria los extremos de integración

[ani_pascual]

Hola:

Hola, he visto que \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=2\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \) con \( f(x) \) par

Dem: \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}f(x)dx+\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)

C. variable \( u=-x \) \( = \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(-u)d\textcolor{blue}{u}+\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)
Ahora uso que es par \( = \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(u)du+\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)    (*)
Luego \( = 2 \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)

Tengo dudas en la linea (*) ¿Porque la suma de una integral \( du \) mas otra \( dx \) se puede sumar y da \( = 2 \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)?
...

Donde habías puesto \( dx \) era \( du \) debido al cambio de variable. Luego lo puedes restablecer y sumar las dos integrales.
Saludos

[Fernando Revilla]

  Sería:

  \( \displaystyle\int_{-\infty}^{0}f(x)dx\underbrace{=}_{u=-x}\displaystyle\int_{+\infty}^{0}f(-u)(-du)\underbrace{=}_{f\text{ par}}\displaystyle\int_{+\infty}^{0}f(u)(-du)=-\displaystyle\int_{+\infty}^{0}f(u)(du)\underbrace{=}_{\text{ cam. lim. integ.}}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(u)du\underbrace{=}_{\text{ variab. muda}}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \).

[Nub]

Hola:

Hola, he visto que \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=2\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \) con \( f(x) \) par

Dem: \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}f(x)dx+\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)

C. variable \( u=-x \) \( = \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(-u)d\textcolor{blue}{u}+\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)
Ahora uso que es par \( = \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(u)du+\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)    (*)
Luego \( = 2 \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)

Tengo dudas en la linea (*) ¿Porque la suma de una integral \( du \) mas otra \( dx \) se puede sumar y da \( = 2 \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \)?
...

Donde habías puesto \( dx \) era \( du \) debido al cambio de variable. Luego lo puedes restablecer y sumar las dos integrales.
Saludos

Pero al restablecerlo no me cambia los limites de integración por lo tanto no puedo sumar...?

[Nub]

  Sería:

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{0}f(x)dx\underbrace{=}_{u=-x}\displaystyle\int_{+\infty}^{0}f(-u)(-du)\underbrace{=}_{f\text{ par}}\displaystyle\int_{+\infty}^{0}f(u)(-du)=-\displaystyle\int_{+\infty}^{0}f(u)(du)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(u)du\underbrace{=}_{\text{ variab. muda}}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)dx \).

Que es una variable muda

[Fernando Revilla]

Que es una variable muda

 Haz el cambio \( u=x \) en la última igualdad .

[Nub]

Que es una variable muda

 Haz el cambio \( u=x \) en la última igualdad .

¿Se puede? (si me lo dices tu 99.9% de que si) pero siempre he visto que se hacia un cambio de variable lo deshacíamos   o lo haciamos otro nuevo pero con otra variable. Gracias

[Fernando Revilla]

¿Se puede? (si me lo dices tu 99.9% de que si)

100% y no porque lo diga yo. Indícame la diferencia entre estas tres integrales \( \displaystyle\int_{a}^{b}x^2dx \), \( \displaystyle\int_{a}^{b}t^2dt \),  \( \displaystyle\int_{a}^{b}u^2du \).

¿Y entre estas tres ecuaciones \( 2x+3=5 \),  \( 2t+3=5 \), \( 2u+3=5 \)?

Etcétera.

[Nub]

¿Se puede? (si me lo dices tu 99.9% de que si)

100% y no porque lo diga yo. Indícame la diferencia entre estas tres integrales \( \displaystyle\int_{a}^{b}x^2dx \), \( \displaystyle\int_{a}^{b}t^2dt \),  \( \displaystyle\int_{a}^{b}u^2du \).

¿Y entre estas tres ecuaciones \( 2x+3=5 \),  \( 2t+3=5 \), \( 2u+3=5 \)?

Etcétera.

Claro, igual, esto se puede hacer porque son integrales y no primitivas no? porque al hacer el primer cambio de variable modificamos los extremos, por eso luego podemos hacer otro cambio \( u=x \), si no modifcaramos los extremos, para hacer una primitiva, hago un cambio de variable, calculo la primitiva, deshago el cambio de variable y hago Regla de Barrow, pero si hago dos cambios de variables con la misma letra creo que no va funcionar

[ani_pascual]

Hola:

...
Pero al restablecerlo no me cambia los limites de integración por lo tanto no puedo sumar...?

Aunque ya te lo ha explicado Fernando Revilla contesto a tu pregunta, pero en spoiler, por que es más de lo mismo que ha escrito él.

Spoiler

Cuando se hace un cambio de variable no solo se cambia la variable sino también el símbolo de diferencial así como los límites de integración.
Así, si haces el cambio de variable \( u=-x \) eso implica que \( dx=-du \) y que si \( x\to -\infty \) entonces \( u\to \infty \), y si \( x\to 0 \) entonces \( u\to 0 \). Por tanto,
\( \displaystyle\int_{-\infty}^0f(x)\,dx\stackrel{u=-x}{=}\displaystyle\int_{\infty}^0f(-u)\,(-du)\stackrel{paridad}{=}-\displaystyle\int_{\infty}^0f(u)\,du=\displaystyle\int_0^{\infty}f(u)\,du=\displaystyle\int_0^{\infty}f(x)\,dx \)

[cerrar]

Saludos