[Luis Fuentes]

Hola

Puede ser que \( f(m)=T(n,m+1)-T(n,m) \) sea simétrica respecto a \( m=n/2 \)?

Se tiene que:

\( T(n,m)=\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}\displaystyle\binom{n}{k}m^k(n+1-m)^{n-k}=(n+1)^n-\displaystyle\sum_{k=m}^{n}\displaystyle\binom{n}{k}m^k(n+1-m)^{n-k}=(n+1)^n-\displaystyle\sum_{k=m}^{n}\displaystyle\binom{n}{n-k}m^k(n+1-m)^{n-k} \)

Haciendo el cambio \( n-k=s \):

\( T(n,m)=(n+1)^n-\displaystyle\sum_{s=0}^{n-m}\displaystyle\binom{n}{s}m^{n-s}(n+1-m)^{s}=(n+1)^n-\displaystyle\sum_{s=0}^{(n+1-m)-1}\displaystyle\binom{n}{s}(n+1-(n+1-m))^{n-s}(n+1-m)^{s}=(n+1)^n-T(n,n+1-m) \)

Es decir:

\( T(n,m)=(n+1)^n-T(n,n+1-m) \)

y entonces:

\( f(m)=T(n,m+1)-T(n,m)=T(n,n+1-m)-T(n,n-m)=f(n-m) \).

Saludos.

[Quema]

La distribución de \( S_n \) es binomial \( B(n,\displaystyle\frac{m}{1+n}) \), no? Existe un teorema que dice que si tengo \( X,Y \) con distribución binomial con probabilidades \( p,q \) respectivamente \( p<q \) entonces \( P(X\geq{}k)<P(Y\geq{}k) \) para todo \( k \) entre \( 0 \) y \( n \). No se bien si esto se puede relacionar con mostrar que \( H(n,1)<H(n,m) \) o \( T(n,m+1)>T(n,m). \)

Lo pensé de esta forma. Dado \( B(n,\displaystyle\frac{m}{n+1})=\displaystyle\binom{n}{k}(\displaystyle\frac{m}{n+1})^k(1-\displaystyle\frac{m}{n+1})^{n-k} \). Tendría que probar que  \( P(B(n+1,\displaystyle\frac{m}{n+2})<m-1)\geq{}P(B(n,\displaystyle\frac{m}{n+1})<m-1) \), no? Igual no me està dando, \( P(B(n+1,\displaystyle\frac{m}{n+1})<m-1)\leq{}P(B(n,\displaystyle\frac{m}{n+1})<m-1) \) por dominancia estocástica y esa probabilidad al ser decreciente en \( p \) debería dar vuelta esta desigualdad. ?