[Nub]

Hola

\(
\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} \sin\left(\frac{1}{x}\right) \, dx \) ver si converge o diverge

Se me ocurrió esto, no sé si está mal, pero la solución que tengo, calcula la integral y toma el límite y te das cuenta que oscila, yo intenté hacer esto

Sé que \( -1\leq{}sin(1/x)\leq{}1 \) me quedo con  \( -1\leq{}sin(1/x) \) ahora multiplico ambos lados por \( 1/x^2 \) ¿Qué pasa cuando \( x=0 \)? nunca va a suceder pues la función va de \( (0,1] \)
quedaría así \( -\displaystyle\frac{1}{x^2}\leq{}sin(1/x)\displaystyle\frac{1}{x^2} \)
ahora por criterio de comparación, sé que si diverge la de la  función de la izquierda diverge la de la derecha \( \displaystyle\int_{0}^{1}-1/x^2=\displaystyle\int_{1}^{0}\displaystyle\frac{1}{x^2} \) diverge

[Nub]

¿Puede ser que esté mal porque la función \( -1/x^2 \) es negativa no?

[Juan Pablo Sancho]

Haz \( u = \dfrac{1}{x} \)

[delmar]

Hola

Una forma es modificando el integrando \( \displaystyle\int_{a}^{1}(\displaystyle\frac{1}{x^2})sen(\displaystyle\frac{1}{x}) \ dx \)

Si \( g(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\Rightarrow{g'(x)=\displaystyle\frac{-1}{x^2}} \) denominando \( f(u)= sen \ u  \) el integral se puede poner como :

\( \displaystyle\int_{a}^{1}(\displaystyle\frac{1}{x^2})sen(\displaystyle\frac{1}{x}) \ dx=-\displaystyle\int_{a}^{1}f(g(x)) \ g'(x) \ dx \) el teorema de sustitución implica :

\( \displaystyle\int_{a}^{1}(\displaystyle\frac{1}{x^2})sen(\displaystyle\frac{1}{x}) \ dx=-\displaystyle\int_{g(a)}^{g(1)}f(u)du=\displaystyle\int_{1/a}^{1}-sen(u)du=cos 1- cos (\displaystyle\frac{1}{a}) \) cuando \( a\rightarrow{0+} \) ¿hay o no hay límite?


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¿Puede ser que esté mal porque la función \( -1/x^2 \) es negativa no?

Si, correcto.

Saludos.

P.D.¿De verdad es tan difícil poner un mínimo de atención en algunas tildes? O activar el corrector automático de ortografía...

[Nub]

Hola

Una forma es modificando el integrando \( \displaystyle\int_{a}^{1}(\displaystyle\frac{1}{x^2})sen(\displaystyle\frac{1}{x}) \ dx \)

Si \( g(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\Rightarrow{g'(x)=\displaystyle\frac{-1}{x^2}} \) denominando \( f(u)= sen \ u  \) el integral se puede poner como :

\( \displaystyle\int_{a}^{1}(\displaystyle\frac{1}{x^2})sen(\displaystyle\frac{1}{x}) \ dx=-\displaystyle\int_{a}^{1}f(g(x)) \ g'(x) \ dx \) el teorema de sustitución implica :

\( \displaystyle\int_{a}^{1}(\displaystyle\frac{1}{x^2})sen(\displaystyle\frac{1}{x}) \ dx=-\displaystyle\int_{g(a)}^{g(1)}f(u)du=\displaystyle\int_{1/a}^{1}-sen(u)du=cos 1- cos (\displaystyle\frac{1}{a}) \) cuando \( a\rightarrow{0+} \) ¿hay o no hay límite?


Saludos

Hola delmar.

Una duda que tengo es porque no usas el extremo que de la letra y pones un extremo "\( a \)"

Lo que hice yo fue

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^2}sin(\displaystyle\frac{1}{x^2})dx=-\displaystyle\int_{+\infty}^{1}sin(u)du=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}sin(u)du=\displaystyle\lim_{y \to{+}\infty}{cos(y)-cos(1)=\nexists} \)

Obviamente puse el extremo +infinito porque \( u=1/x \) y \( u=1/0 \) y nos acercamos por deerecha al 0 da +infinito

[delmar]

Es verdad no expliqué con claridad, estoy considerando 0<a<1 en ese caso por ser continuo el integrando, el integral existe y luego se considera \( a\rightarrow{0+} \) para obtener el valor de la integral impropia.

Saludos

[Nub]

Gracias a los 3