[Nub]

Hola, hay 500 hilos de esta ejercicio resuelto pero no entiendo, parece que hacen cosas "extra"

Sea \( A,B\in{\mathbb{R^n}} \) y \(  A+B=\left\{{a+b:a\in{A,b\in{B}}}\right\} \)

Probar si \( A \) abierto \( \Longrightarrow{A+B} \) abierto

Dem:

El truco era pensar que \( A+B = \bigcup\limits_{b\in B}A+\{b\} \) he demostrado anteriormente que union de abiertos es abierto, por lo tanto basta tomar \( A+{b} \) con \( b\in{B} \) y probar que es abierto

Acá puede que este mal o no se:
Sea \( b\in{B} \)
\( A \) es abierto y si \( x\in{A} \) luego \( x \) es interior a \( A \) entonces \( \exists{r>0/B(x,r)\subset{A}} \)
Sea \( y\in{B(x,r)} \) generico, por estar dentro de la bola \( y\in{A} \) si a \( y \) le sumamos \( b \) luego \( y+b\in{A+b} \) por definición del conjunto \( A+b \) luego si para cada \( y \) (que estan dentro de la bola) le sumamos b entonces pertenecerán \( A+b \), es decir si todos los elementos de la bola al sumarle b pertencen a \( A+b \) entonces la bola "trasladada" esta incluida en a \( A+b \) (pues todos sus puntos estan en \( A+b \)) osea \( B(x+b,r)\subset{A+b} \) luego \( A+b \) es abierto luego por union de abiertos \( A+B \) es abierto y fin

[Masacroso]

La idea está bien, pero le falta pulcritud para ver si has demostrado todos los pasos necesarios o te has saltado alguno. Quieres demostrar lo siguiente: \(\forall r>0, x\in A,b\in B: \mathbb{B}(x,r)\subset A\implies \mathbb{B}(x+b,r)\subset A+b\), lo cual se sigue de la definición de norma en \(\mathbb{R}^n\), ya que

\[
y\in  \mathbb{B}(x,r)\iff \|y-x\|<r\iff \forall b\in \mathbb{R}^n:\|(y+b)-(x+b)\|<r\iff \forall b\in \mathbb{R}^n:y+b\in \mathbb{B}(x+b,r)\tag1
\]

Por tanto de (1) se sigue que si \(x\in A^\circ \) entonces \(x+b\in (A+b)^\circ \) para cualquier \(b\in \mathbb{R}^n\). Si \(A\) es abierto lo anterior equivale a decir que \(A+b\) es abierto para cualquier \(b\in \mathbb{R}^n\). En particular \(A+B=\bigcup_{b\in B}A+b\) es abierto para cualquier \(B\subset \mathbb{R}^n\) (incluído cuando \(B=\emptyset \)).∎

Nota: observa que la demostración anterior es aplicable a cualquier espacio normado, no necesariamente \(\mathbb{R}^n\).

[Nub]

Hola Masacroso, no entendi casi nada, parece que lo volviste mas complejo

Quieres demostrar lo siguiente: \(\forall r>0, x\in A,b\in B: \mathbb{B}(x,r)\subset A\implies \mathbb{B}(x+b,r)\subset A+b\)

Lo que quiero demostrar es que \( A+b \) es abierto o directamente \( A+B \). Para eso, para que sea habierto debo demostrar que para cada elemento del conjunto exista una bola incluida en el conjunto. No entiendo porque tu dices \( \forall{r>0} \)

[Masacroso]

Hola Masacroso, no entendi casi nada, parece que lo volviste mas complejo

Quieres demostrar lo siguiente: \(\forall r>0, x\in A,b\in B: \mathbb{B}(x,r)\subset A\implies \mathbb{B}(x+b,r)\subset A+b\)

Lo que quiero demostrar es que \( A+b \) es abierto o directamente \( A+B \). Para eso, para que sea abierto debo demostrar que para cada elemento del conjunto exista una bola incluida en el conjunto.

Claro, pero como ya sabes que \(A+B=\bigcup_{b\in B}A+b\) entonces es suficiente con demostrar que si \(A\) es abierto entonces para cualquier \(b\in \mathbb{R}^n\) se tiene que \(A+b\) es abierto. Una forma de demostrar esto es demostrar que si para cualesquiera \(x\) y \(r\) tales que \(\mathbb{B}(x,r)\subset A\) entonces \(\mathbb{B}(x+b,r)\subset A+b\), que es lo que hago en mi propuesta.

No entiendo porque tu dices \( \forall{r>0} \)

Esta parte "\(\forall r>0,x\in A,b\in B\)..." es un formalismo quizá innecesario, pero prefiero tener cuantificadas todas las variables en una proposición lógica porque me parece más claro así. Lo que viene a decir el "para todo..." es "si se da el caso que...". En este caso viene a decir que "si se da el caso de que \(\mathbb{B}(x,r)\subset A\) para algún \(x\in A\) y \(r>0\) (el que sea) entonces \(\mathbb{B}(x+b,r)\subset A+b\)".

[Nub]

Hola Masacroso, no entendi casi nada, parece que lo volviste mas complejo

Quieres demostrar lo siguiente: \(\forall r>0, x\in A,b\in B: \mathbb{B}(x,r)\subset A\implies \mathbb{B}(x+b,r)\subset A+b\)

Lo que quiero demostrar es que \( A+b \) es abierto o directamente \( A+B \). Para eso, para que sea abierto debo demostrar que para cada elemento del conjunto exista una bola incluida en el conjunto.

Claro, pero como ya sabes que \(A+B=\bigcup_{b\in B}A+b\) entonces es suficiente con demostrar que si \(A\) es abierto entonces para cualquier \(b\in \mathbb{R}^n\) se tiene que \(A+b\) es abierto. Una forma de demostrar esto es demostrar que si para cualesquiera \(x\) y \(r\) tales que \(\mathbb{B}(x,r)\subset A\) entonces \(\mathbb{B}(x+b,r)\subset A+b\), que es lo que hago en mi propuesta.

Si... pero no dices porque exactamente la bola de centro \( x+b \) y radio \( r \) tiene que estar incluida en \( A+b \), osea sale de la nada, yo necesito que exista una bola para cada punto de A+b y no necesariamente el radio tiene que ser \( r \) pues \( r \) es el radio que existe gracias a que \( A \) es interior. Es decir, sale un poco de la galera en tu prueba o yo no veo bien lo que dices.

[Masacroso]

Si... pero no dices porque exactamente la bola de centro \( x+b \) y radio \( r \) tiene que estar incluida en \( A+b \), osea sale de la nada

Fíjate en las equivalencias de (1) de mi primera respuesta: las equivalencias demuestran que para cualesquiera \(x,y,b\in \mathbb{R}^n\) y \(r>0\) se cumple que \(\mathbb{B}(x,r)\subset A\iff \mathbb{B}(x+b,r)\subset A+b\). Por tanto si no fuese cierto que \(\mathbb{B}(x+b,r)\subset A+b\) para algún \(r>0\) entonces ninguna bola centrada en \(x\) estaría contenida en \(A\), luego \(x\) no sería un punto interior de \(A\), lo cual contradice lo que sabemos de \(A\), ergo \(A+b\) es necesariamente abierto.

, yo necesito que exista una bola para cada punto de A+b y no necesariamente el radio tiene que ser \( r \) pues \( r \) es el radio que existe gracias a que \( A \) es interior.

Para eso se utiliza el \(\forall \): no me refiero a ningún \(r\) en concreto, sino a alguno, el que sea, que sea válido. Como sabemos que \(A\) es abierto entonces sabemos que existe tal \(r\) para cualquier \(x\in A\) que tomemos.