Simplemente lo que quieren es que \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2x^2+2a} - \dfrac{a}{x+1} = 0 \) y para eso sabiendo que \( \dfrac{x}{2x^2 + 2a} = \dfrac{1}{2x + 2a/x} \) hacen \( a = 1/2 \)
Pero que el limite de la función a integral sea 0 no implica que sea convergente...
Efectivamente, esa es una condición necesaria, pero no suficiente. Llamemos \( f \) a la función a integrar, es decir, \( f(x)=\frac{x}{2x^2+2a}-\frac{a}{x+1}=\frac{x^2+x-2ax^2-2a^2}{2(x^2+a)(x-1)}=\frac{(1-2a)x^2+x-2a^2}{2(x^2+a)(x-1)} \), primero aplicamos la condición necesaria de convergencia. Se tiene que \( \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 \) para todo \( a\in\mathbb R \), luego no podemos descartar ningún valor de \( a \).
Intuitivamente, esta integral va a converger si el grado del polinomio de arriba es dos veces mas que el de abajo, y esto solo ocurre si \( a=1/2 \). Sin embargo, hay que ver formalmente que esta intuición es cierta. Vamos a aplicar el criterio de comparación por el paso al límite. Sin embargo, para aplicarlo ha de ser \( f\geq 0 \), lo cual no es cierto para esta función. No obstante, notemos que existe claramente un \( x_0>1 \) de modo que \( f\geq 0 \) en \( (x_0,+\infty) \) para todo valor de \( a \) (ejercicio).
Además, es conocido que, en estas condiciones, \( \int_1^{\infty} f(x)dx \) converge si y solo si \( \int_{x_0}^{\infty} f(x)dx \) converge. Como ahora si que tenemos la condición \( f\geq 0 \), podemos aplicar el criterio de comparación por el paso al límite con \( \int_{x_0}^{\infty} \frac{1}{x^2}dx \), que converge. Por ello, será \( \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{1/x^2}=\lim_{x\to\infty}x^2f(x) \) que converge si y solo si \( a=1/2 \). Por ello, estas integrales tienen el mismo caracter si y solo si \( a=1/2 \), y como \( \int_{x_0}^{\infty} \frac{1}{x^2}dx \) converge, entonces \( \int_{x_0}^{\infty} f(x)dx \) converge si y solo si \( a=1/2 \).
Por ello, \( \int_{1}^{\infty} f(x)dx \) converge si y solo si \( a=1/2 \). ¡Espero que sirva de ayuda!
