[zorropardo]

Sea $$f: [0, + \infty) \rightarrow{\mathbb{R}}$$ una funcion acotada en cada intervalo acotado. Si $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{[f(x+1)-f(x)]=L}$$ entonces $$ \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{x}=L}.$$

Hice lo siguiente, usando una caracterizacion por sucesiones:

Sea $$(x_{n}) \subseteq [0,+\infty) \cap (a,+) $$ con $$a \in \mathbb{R}$$ tal que $$\lim x_{n}=+\infty \Rightarrow{ \lim [f(x_{n}+1)-f(x_{n})]}=L$$

Queremos mostrar: $$\lim \frac{f(x_{n})}{x_{n}}=L$$

$$|\frac{f(x_{n})}{x_{n}}-L|= |\frac{f(x_{n})-L x_{n}}{x_{n}}| \leq{   \frac{|f(x_{n})-f(x_{n}+1)+L|}{|x_{n}|}+\frac{|f(x_{n}+1)-Lx_{n}-L|}{|x_{n}|}  }$$

y de aqui no se como tender a cero la ultima parte 

[Juan Pablo Sancho]

Te propongo otra forma, es tarde y no pienso muy bien.
Sea \( \alpha \in (0,1)  \) tomamos \( x_m = \alpha + m  \) entonces dado \( \epsilon > 0 \) existe \( m_0 \in \mathbb{N}  \) verificando que si \( m\geq m_0  \) entonces \( f(x_{m+1}) - f(x_m) = L + \tau_m  \) donde \( |\tau_m| < \epsilon \).
Sea \( n > m_0 \) entonces:

\( \begin{align*}
\dfrac{f(x_n)}{x_n} &= \dfrac{(f(x_n) - f(x_{n-1})) + (f(x_{n-2}) - f(x_{n-3})) + \cdots + (f(x_{m_0+1}) -f(x_{m_0})) + f(x_{m_0})}{x_n} \\
&= \dfrac{(L+\tau_{n-1}) + (L + \tau_{n-2}) + \cdots + (L+\tau_{m_0}) + f(x_{m_0})}{x_n}
\end{align*} \)

Donde:

\( |\dfrac{\tau_{n-1} + \tau_{n-2} + \cdot + \tau_{m_0}|}{x_n} \leq \dfrac{\epsilon + \epsilon + \cdots + \epsilon}{x_n}  \)

[Luis Fuentes]

Hola

Sea $$f: [0, + \infty) \rightarrow{\mathbb{R}}$$ una funcion acotada en cada intervalo acotado. Si $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{[f(x+1)-f(x)]=L}$$ entonces $$ \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{x}=L}.$$

Mira por aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/1041661/if-lim-x-to-infty-fx1-fx-l-then-lim-x-to-inftyfx-x-l-f

Allí está hecho para funciones continuas; pero realmente si te fijas lo único que necesita es que la función esté acotada en cualquier intervalo acotado para asegurar la existencia de \( U_n=\displaystyle\sup_{x\in [n,n+1)}f(x) \) e \( u_n=\displaystyle\inf_{x\in [n,n+1)}f(x) \)

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Mira por aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/1041661/if-lim-x-to-infty-fx1-fx-l-then-lim-x-to-inftyfx-x-l-f

Allí está hecho para funciones continuas; pero realmente si te fijas lo único que necesita es que la función esté acotada en cualquier intervalo acotado para asegurar la existencia de \( U_n=\displaystyle\sup_{x\in [n,n+1)}f(x) \) e \( u_n=\displaystyle\inf_{x\in [n,n+1)}f(x) \)

Es casi seguro que el siguiente comentario adolece de fisuras y lo pongo precisamente para preguntar si podría ser de alguna utilidad, con las correcciones debidas.
Este ejercicio me recuerda al criterio de Stolz para el cálculo de ciertos límites de sucesiones, por lo que me pregunto si se podría adaptar la demostración de este criterio para demostrar el enunciado del ejercicio.
Si \( \{b_n\} \) es una sucesión de números positivos monótona creciente y divergente, para cualquier sucesión \( \{a_n\} \) y cualquier \( L\in\mathbb{R} \) que verifican \( \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=L \), se tiene entonces que \( \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{b_n}=L \).
En el ejercicio, si tomamos la sucesión \( \{n\}\subset (0,\infty) \) con \( \lim\limits_{n\to \infty}n=\infty \), como \( \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{f(n+1)-f(n)}{n+1-n}=L \) ya que \( \lim\limits_{x\to \infty}f(x+1)-f(x)=L \), se tendría que \( \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{f(n)}{n}=L \), lo que nos hace intuir que  \( \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{x}=L \)
 
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Toma la función \( f(x) = x  \) si \( x \in \mathbb{N} \) y \( f(x) = e^{-x} \) si \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}  \) y no funciona.

[ani_pascual]

Hola:

Toma la función \( f(x) = x  \) si \( x \in \mathbb{N} \) y \( f(x) = e^{-x} \) si \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}  \) y no funciona.

¡Cierto! Gracias 
Saludos