Sea $$f:X \rightarrow{\mathbb{R}}, a \in X'.$$ Si existen las sucesiones $$(x_{n}), (y_{n}) \subseteq{X-\{ a \}}$$ y
$$ \lim x_{n}=a=\lim y_{n} $$ pero $$ \lim f(x_{n}) \neq \lim f(y_{n}),.$$ entonces podemos concluir que : $$\lim_{x\rightarrow{a}} f(x)$$ no existe.
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Supongamos que existe $$ \lim_{x\rightarrow{a}} f(x) =L $$ Para las sucesiones $$(x_{n}), (y_{n}) \subseteq{X-{a}}$$ tal que $$ \lim x_{n}=a=\lim y_{n} $$
entonces por el Teorema $$\lim f(x_{n})=L=\lim f(y_{n})$$ lo cual es absurdo. Por tanto no existe $$\lim_{x\rightarrow{a}} f(x).$$ Esta bien
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Fue usado el siguiente Teorema ya probado: Sea $$f:X \rightarrow{\mathbb{R}}, a \in X'.$$
$$\lim_{x\rightarrow{a}} f(x) =L \Leftrightarrow{ \forall (x_{n}) \subseteq{ X- \{ a \}} } $$ tal que $$\lim x_{n}=a$$ entonces $$\lim f(x_{n})=L$$
la negacion sera asi:
$$\lim_{x\rightarrow{a}} f(x) \neq L \Leftrightarrow{ \exists (x_{n}) \subseteq{ X- \{ a \}} } $$ tal que $$\lim x_{n}=a$$ con $$\lim f(x_{n}) \neq L.$$
